Autor Tema: Curvas planas (1.6)

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20 Octubre, 2020, 02:30 am
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Bobby Fischer

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Hola,

Me preguntaba si sería relativamente fácil encontrar una función que dado un punto del plano y la pendiente (distinta de cero) de la recta tangente en dicho punto, se dé una situación parecida a la que se da en \( x=0 \) para la función \( f(x)=e^{-1/x^2} \) y la recta \( y=0 \), de manera que coincidan las derivadas hasta orden enésimo de la función y su tangente, pero la derivada primera sea no nula.

En resumen, 'diseñar' una función que se pareciera mucho a una recta, distinta de \( y=0 \).

Y que sea continua, porque a trozos es muy fácil.

20 Octubre, 2020, 03:56 am
Respuesta #1

Gustavo

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Hola. Si entiendo lo que buscas, la función \( f(x):=mx+e^{-1/x^2} \) para \( x\neq 0 \) con \( f(0):=0 \) cumple lo que pides con la recta \( y=mx \). Aunque no entiendo lo que dices acá

Y que sea continua, porque a trozos es muy fácil.

donde relacionas la continuidad con la "presentación" de la función.

20 Octubre, 2020, 11:37 am
Respuesta #2

Bobby Fischer

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donde relacionas la continuidad con la "presentación" de la función.

Fallo mío. Me refería a que la función fuese \( C^n \), \( n \) arbitrario. Si no, sería muy fácil encontrar una función continua que en dicho punto se pareciera mucho a una recta: tomar la propia recta, en un intervalo dado que contuviera al punto, y completar a izquierda y derecha con otras dos funciones que pegaran bien con la recta. La función sería continua, pero su derivada quizás no lo sería. Es decir, estaríamos trasladando el problema que expongo a otro sitio (los extremos del intervalo), y eso no resolvería el problema, simplemente lo estaría cambiando de lugar.

Es curioso que pensé en \( f(x)=e^{-1/x^2}+\frac{1}{2}x \), pero lo desestimé y no seguí con la idea.

Ahora, con tu ayuda, veo que: \( f(x)=e^{-\frac{1}{(x-x_0)^2}}+m(x-x_0)+y_0 \) es la función que busco.

Y me mosqueaba, al derivar sucesivamente, el cálculo del límite: \( \lim_{x\to 0}\dfrac{e^{-1/x^2}}{x^m} \), pero me he dado cuenta de que haciendo el cambio \( y=\dfrac{1}{x^2} \) es casi inmediato.

Gracias.