Autor Tema: Curvas planas (1.3)

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19 Octubre, 2020, 02:08 am
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Bobby Fischer

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Hola,

Antes de nada he pensado que podía ocurrir que, dada una función \( f \) de un dominio unidimensional en otro n-dimensional, dicha función \( f \) podía ser inyectiva si y sólo si \( \forall i \in \{1,\ldots,n\}\: f_i \) inyectiva.

Pero resulta que sólo es cierta la implicación: \( (\forall i)f_i \) inyectiva \( \Longrightarrow f  \) inyectiva.

Esta implicación es cierta porque si imaginamos \( f \) con las \( f_i \) dispuestas en un vector columna, y tenemos (sin pérdida de generalidad) que la primera \( f_i \) es inyectiva, entonces \( (\forall t_0,t_1)t_0\neq t_1 \Longrightarrow f_1(t_0)\neq f_1(t_1) \).
Comparando el vector columna \( f \) con una pulsera de cuentas que sostengo por uno de sus extremos, cambio la pulsera que sostengo para cada valor de \( t \). Si la "cabeza" es siempre distinta, no importa lo que venga detrás; las pulseras serán distintas aunque coincidan los cuerpos porque la cabeza siempre es distinta.

Ahora bien: ¿es cierto que si \( f \) es inyectiva, entonces debe existir alguna \( f_i \) inyectiva? Creo que para \( n\geq 3 \), no necesariamente.
Se pueden coger los conjuntos \( \{1,2,3\} \) y \( \{\xi, \nu,\theta\} \) y la función \( f \) tal que \( f_1=f_2 \), y luego basta elegir \( f_3 \) convenientemente. De esta manera, si:

\( \begin{bmatrix}{}&{}&{}\\{f(1)}&{f(2)}&{f(3)}\\{}&{}&{}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\xi}&{\xi}&{\nu}\\{\xi}&{\xi}&{\nu}\\{\nu}&{\theta}&{\theta}\end{bmatrix} \)

\( f(1)=\begin{pmatrix}{f_1(1)}\\{f_2(1)}\\{f_3(1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\xi}\\{\xi}\\{\nu}\end{pmatrix}\quad f(2)=\begin{pmatrix}{f_1(2)}\\{f_2(2)}\\{f_3(2)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\xi}\\{\xi}\\{\theta}\end{pmatrix}\quad f(3)=\begin{pmatrix}{f_1(3)}\\{f_2(3)}\\{f_3(3)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\nu}\\{\nu}\\{\theta}\end{pmatrix} \)

No se tiene ninguna \( f_i \) inyectiva y sin embargo, \( f \) sí lo es.

O también \( \begin{bmatrix}1&1&1&1&2\\1&1&1&1&2\\1&1&1&1&2\\0&1&2&3&3\end{bmatrix}\quad (\ldots) \)

Hallar la longitud del arco de curva \( \alpha(t)=\left(t^2-2t+1,\dfrac{8t\sqrt{t}}{3}-1\right) \) comprendido entre los puntos \( (0,5/3) \) y \( (64,71) \).

Terminando de escribir la pregunta me he dado cuenta de que había equivocado al calcular \( |\alpha(t)| \) en lugar de \( |\alpha'(t)| \), así que en cierto modo duda resuelta.

Hay algo que me extraña en este problema.

Se trata de una curva parametrizada y regular. La función tiene derivada continua hasta orden 1 y dicha derivada es distinta de cero para todo \( t \) real.

Los extremos de la curva se dan para \( t=1 \) y \( t=9 \). Entre estos valores del parámetro, \( f_1=(t-1)^2 \) es inyectiva, por lo que los valores de "x" se recorren sólo una vez.

Para calcular la longitud de la curva, \( l=\displaystyle\int_{1}^{9}|\alpha'(t)|dt=\color{blue}96 \), que más o menos coincide con la distancia en línea recta entre sus dos extremos, que es aproximadamente \( 94 \).

19 Octubre, 2020, 10:07 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Antes de nada he pensado que podía ocurrir que, dada una función \( f \) de un dominio unidimensional en otro n-dimensional, dicha función \( f \) podía ser inyectiva si y sólo si \( \forall i \in \{1,\ldots,n\}\: f_i \) inyectiva.

Pero resulta que sólo es cierta la implicación: \( (\forall i)f_i \) inyectiva \( \Longrightarrow f  \) inyectiva.

Esta implicación es cierta porque si imaginamos \( f \) con las \( f_i \) dispuestas en un vector columna, y tenemos (sin pérdida de generalidad) que la primera \( f_i \) es inyectiva, entonces \( (\forall t_0,t_1)t_0\neq t_1 \Longrightarrow f_1(t_0)\neq f_1(t_1) \).
Comparando el vector columna \( f \) con una pulsera de cuentas que sostengo por uno de sus extremos, cambio la pulsera que sostengo para cada valor de \( t \). Si la "cabeza" es siempre distinta, no importa lo que venga detrás; las pulseras serán distintas aunque coincidan los cuerpos porque la cabeza siempre es distinta.

Ahora bien: ¿es cierto que si \( f \) es inyectiva, entonces debe existir alguna \( f_i \) inyectiva? Creo que para \( n\geq 3 \), no necesariamente.
Se pueden coger los conjuntos \( \{1,2,3\} \) y \( \{\xi, \nu,\theta\} \) y la función \( f \) tal que \( f_1=f_2 \), y luego basta elegir \( f_3 \) convenientemente. De esta manera, si:

\( \begin{bmatrix}{}&{}&{}\\{f(1)}&{f(2)}&{f(3)}\\{}&{}&{}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\xi}&{\xi}&{\nu}\\{\xi}&{\xi}&{\nu}\\{\nu}&{\theta}&{\theta}\end{bmatrix} \)

\( f(1)=\begin{pmatrix}{f_1(1)}\\{f_2(1)}\\{f_3(1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\xi}\\{\xi}\\{\nu}\end{pmatrix}\quad f(2)=\begin{pmatrix}{f_1(2)}\\{f_2(2)}\\{f_3(2)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\xi}\\{\xi}\\{\theta}\end{pmatrix}\quad f(3)=\begin{pmatrix}{f_1(3)}\\{f_2(3)}\\{f_3(3)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\nu}\\{\nu}\\{\theta}\end{pmatrix} \)

No se tiene ninguna \( f_i \) inyectiva y sin embargo, \( f \) sí lo es.

O también \( \begin{bmatrix}1&1&1&1&2\\1&1&1&1&2\\1&1&1&1&2\\0&1&2&3&3\end{bmatrix}\quad (\ldots) \)

Si todo eso es cierto. Un ejemplo natural de parametrización inyectiva con componentes no inyectivas es la circunferencia:

\( \alpha:(0,2\pi)\to \Bbb R^2,\qquad \alpha(t)=(cos(t),sin(t)) \)

Citar
Para calcular la longitud de la curva, \( l=\displaystyle\int_{1}^{9}|\alpha'(t)|dt=\color{blue}96 \), que más o menos coincide con la distancia en línea recta entre sus dos extremos, que es aproximadamente \( 94 \).

Si; la curva no se separa mucho del segmento que une los puntos inicial y final:



Saludos.

19 Octubre, 2020, 11:56 am
Respuesta #2

Bobby Fischer

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Gracias,

Saludos.