Autor Tema: Curvas planas (1.1)

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18 Octubre, 2020, 07:27 pm
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Bobby Fischer

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Hola,

El último apartado de un problema me pregunta si dada la aplicación:

\begin{align*}\alpha:\: &\mathbb{R} \to\mathbb{R}^2\\
t &\mapsto (t^3-4t,t^2-4)\end{align*}

¿Es \( \alpha(\mathbb{R}) \) homeomorfa a \( \mathbb{R} \)?

Un homeomorfismo es una aplicación continua, biyectiva y con inversa continua.

Como \( \alpha(\mathbb{R})=\mathbb{R}\times [-4,+\infty) \),

entonces creo que no puede haber aplicaciones inyectivas de \( \mathbb{R}\times [-4,+\infty) \) en \( \mathbb{R} \) puesto que si las hubiera estaríamos afirmando que \( |\mathbb{R}^2|\leq |\mathbb{R}| \), lo cual es falso.

Por otra parte, si se da que \( f \) es homeomorfismo si y sólo si \( f^{-1} \) lo es, entonces \( f \) no puede ser homeomorfismo porque \( f^{-1} \) no es biyectiva por no ser inyectiva. Añado: esta última frase sobra.

En conclusión, \( \alpha(\mathbb{R}) \) no puede ser homeomorfa a \( \mathbb{R} \) por no existir aplicaciones inyectivas de \( \mathbb{R}\times [-4,+\infty) \) en \( \mathbb{R} \).

18 Octubre, 2020, 07:57 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

El último apartado de un problema me pregunta si dada la aplicación:

\begin{align*}\alpha:\: &\mathbb{R} \to\mathbb{R}^2\\
t &\mapsto (t^3-4t,t^2-4)\end{align*}

¿Es \( \alpha(\mathbb{R}) \) homeomorfa a \( \mathbb{R} \)?

Un homeomorfismo es una aplicación continua, biyectiva y con inversa continua.

Como \( \alpha(\mathbb{R})=\mathbb{R}\times [-4,+\infty) \),

¡No! Eso  está mal. \( \alpha(\mathbb{R}) \) es el gráfico de la curva en el plano (sólo los puntos de la curva). Tu has puesto todo el semiplano que la contiene.

Citar
entonces creo que no puede haber aplicaciones inyectivas de \( \mathbb{R}\times [-4,+\infty) \) en \( \mathbb{R} \) puesto que si las hubiera estaríamos afirmando que \( |\mathbb{R}^2|\leq |\mathbb{R}| \), lo cual es falso.

En realidad SI hay aplicaciones inyectivas (un poco feas) de  \( \mathbb{R}\times [-4,+\infty) \) en \( \Bbb R \)  y en realidad  \( |\mathbb{R}^2|\leq |\mathbb{R}| \) es cierto. De hecho:  \( |\mathbb{R}^2|= |\mathbb{R}| \). Pero digamos que eso es otra historia; no incumbe mucho al problema.

Ahora bien \( \alpha \) no es inyectiva porque \( \alpha(-2)=\alpha(2) \).

Pero...¡ojo!... eso nos dice que \( \alpha \) no es un homeomorfismo; pero quizá todavía \( \alpha(\Bbb R) \) podría ser homeomorfo a \( \Bbb R \) a través de otro homeomorfismo, distinto de \( \alpha \).

Pero no lo es porque \( \alpha(\Bbb R)-\{(0,0)\} \) tiene tres componentes conexas; pero \( \Bbb R \) menos cualquier punto tiene sólo dos componentes conexas. Si fuesen espacios homeomorfos deberían de serlo menos un punto (pudiendo elegir cuál sólo en en uno de ellos); y espacios homeomorfos tienen las mismas componentes conexas.



Conclusión: \( \alpha(\Bbb R) \) y \( \Bbb R \) NO son homeomorfos. Pero como ves el motivo es bien distinto al que apuntabas.

Saludos.

Añadido: O también si le quitamos a la curva \( \alpha(\Bbb R) \) por ejemplo el punto \( (0,-4) \) (uno cualquiera en la zona del lazo), tiene ahora sólo una componente conexa y \( \Bbb R \) menos cualquier punto tiene dos componentes: de nuevo no pueden ser homeomorfos.

18 Octubre, 2020, 08:38 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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