Autor Tema: Geodésica en un Hiperboloide de una hoja

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

14 Octubre, 2020, 08:23 am
Leído 1326 veces

Miguel.hs

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 50
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola nuevamente, encontré este problema. Sea el hiperboloide de una hoja \(S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2-z^2=1\}\).
Mostrar que la intersección de \(S\) con el plano \(P_1=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:ax+by=0\}\), donde al menos uno de los dos coeficientes es distinto de cero, es una geosésica. Además la intersección de \(S\) con el plano \(P_2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:z=c\}\) es una geosésica si, y solamente si, \(c=0\).

Yo ingénuamente traté de hacer este problema usando los símbolos de Christoffel \(\Gamma_{ij}^k\) los cuales ya había calculado antes, dejo los resultados como Spoiler para no distraer la lectura. Si bien las soluciones del sistema de EDO's nos dan las geodésicas, dudo que pueda ayudar a resolver este problema.

Spoiler
Como \(S\) es una superficie de revolución podemos parametrizarla con

\(X\left(u,v\right)=\left(f\left(u\right)\cos \left(v\right),f\left(u\right)\sin \left(v\right),g\left(u\right)\right)\).

Sea \(\alpha\) una curva en \(S\), esto es \(\alpha(t)=X(u(t),v(t))\). Para que \(\alpha\) sea una geodésica debe cumplir que su \(\alpha'\) es un campo paralelo, lo que es igual a tener

\begin{eqnarray*}
u''+\Gamma_{11}^{1}\left(u'\right)^{2}+2\Gamma_{12}^{1}u'v'+\Gamma_{22}^{1}\left(v'\right)^{2} & = & 0\\
v''+\Gamma_{11}^{2}\left(u'\right)^{2}+2\Gamma_{12}^{2}u'v'+\Gamma_{22}^{2}\left(v'\right)^{2} & = & 0
\end{eqnarray*}

Pero en el caso particular de \(S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2-z^2=1\}\), tenemos que \(f(u)=\sqrt{1+u^2}\), \(g(u)=u\) y los símbolos de Christoffel quedan:

\begin{eqnarray*}
\Gamma_{11}^{1}=0,\quad & \Gamma_{11}^{2}=-\frac{ff'}{\left(f'\right)^{2}+\left(g'\right)^{2}},\quad & \Gamma_{12}^{1}=\frac{ff'}{f^{2}},
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\Gamma_{12}^{2}=0,\quad & \Gamma_{22}^{1}=0,\quad & \Gamma_{22}^{2}=\frac{f'f''+g'g''}{\left(f^{'}\right)^{2}+\left(g'\right)^{2}}.
\end{eqnarray*}

Reemplazando tenemos el siguiente Sistema de EDO's:

\begin{array}{rrr}
u''+\frac{2u u'v'}{u^{2}+1} & = & 0 \\
 v''-\frac{u\left(u^{2}+1\right)}{u^{2}+u+1}\left(u'\right)^{2} +\frac{u}{\left(u^{2}+1\right)\left(u^2+u+1\right)}\left(v'\right)^{2}&= & 0 \\
\end{array}

Las geodésicas las encuentramos resolviendo el sistema anterior.
[cerrar]

Y una pregunta que se me ocurrió al momento de visualizar el problema es el siguiente:
Sean \(S_1,S_2\subseteq\mathbb{R}^3\) dos superficies regulares tangentes en \(\alpha\) curva regular. ¿\(\alpha\) es geodésica en \(S_1 \Leftrightarrow \alpha\) es geodésica en \(S_2\)? De ser cierto esto entonces la segunda pregunta sería sencilla (creo) ya que podría poner una esfera centrada en 0 y de radio 1, de modo que un círculo máximo (geodésica) de la esfera coincide con la intersección de \(S\) con \(z=0\). Y si intersectamos a \(S\) con el plano \(z=c\) con \(c\neq 0\) obteniendo \(C\), podría afirmar que existe una única esfera tangente a \(S\), en \(C\), creo que sería sencillo, por la construcción, mostrar que \(C\) no es un círculo máximo para dicha esfera y por tanto no es una geodésica de \(S\).

14 Octubre, 2020, 09:46 am
Respuesta #1

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,334
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Y una pregunta que se me ocurrió al momento de visualizar el problema es el siguiente:
Sean \(S_1,S_2\subseteq\mathbb{R}^3\) dos superficies regulares tangentes en \(\alpha\) curva regular. ¿\(\alpha\) es geodésica en \(S_1 \Leftrightarrow \alpha\) es geodésica en \(S_2\)?

Sí, es cierto. Esto se sigue de un criterio muy útil: una curva \( \alpha \) es una geodésica de una superfície \( S \subset \Bbb R^3 \) si y solo si su aceleración \( \alpha'' \) (calculada en \( \Bbb R^3 \)) es normal a \( S \) en todos los puntos de la curva.

Puedes usar esto para resolver la primera parte también: comprueba que \( P_1 \) interseca a \( S \) en una curva cuya aceleración es normal a \( S \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

14 Octubre, 2020, 10:26 pm
Respuesta #2

Miguel.hs

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 50
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias geómetracat, estoy tratando de hacer la primera pregunta pero no lo logro ver aún.

Saludos