Autor Tema: Ecuaciones parametricas y cartesiana 2

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05 Octubre, 2020, 09:44 pm
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Julio_fmat

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En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) con \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \), considere el plano afin \( \pi \) que contiene a los tres puntos \( P_1=(1,0,-1,0), P_2=(0,1,0,0), P_3=(0,0,1,-2) \) y la recta \( r \) de ecuacion \( r: x_1+x_3=x_2+2x_3=x_4=0 \). Escribir las ecuaciones cartesianas y parametricas del hiperplano \( H \) tal que \( r\subset H \) y \( \pi \parallel H. \)

Hola, pude calcular los puntos:

\( P_2-P_1=(-1,1,1,0) \)

\( P_3-P_1=(-1,0,2,-2) \)

El tercer punto no se como se calcula... para obtener las ecuaciones parametricas. ¿Es relevante el hecho de que \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \)?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

05 Octubre, 2020, 10:29 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) con \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \), considere el plano afin \( \pi \) que contiene a los tres puntos \( P_1=(1,0,-1,0), P_2=(0,1,0,0), P_3=(0,0,1,-2) \) y la recta \( r \) de ecuacion \( r: x_1+x_3=x_2+2x_3=x_4=0 \). Escribir las ecuaciones cartesianas y parametricas del hiperplano \( H \) tal que \( r\subset H \) y \( \pi \parallel H. \)

Hola, pude calcular los puntos:

\( P_2-P_1=(-1,1,1,0) \)

\( P_3-P_1=(-1,0,2,-2) \)

Esos no son puntos. Son vectores. Son los vectores directores del plano que a su vez también son vectores directores del hiperplano que buscamos.

Necesitamos un vector más y un punto, que serán el vector director de la recta y un punto de la misma.

De las ecuaciones de la recta:

\( r: x_1+x_3=x_2+2x_3=x_4=0 \)

Se deduce que pasa por el origen y un vector director de la misma es \( (-1,-2,1,0) \).

Por tanto el hiperplano que buscas es el que pasa por el origen y tiene por vectores directores \( (-1,-2,1,0),(-1,1,1,0),(-1,0,2,-2) \).

Su ecuación cartesiana se obtiene desarrollando:

\( \left|\begin{matrix}{x_1-0}&{x_2-0}&{x_3-0}&{x_4-0}\\-1&-2&1&0\\-1&1&1&0\\-1&0&2&-2\\\end{matrix}\right|=0 \)

y las paramétricas separando coordenadas en:

\( (x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,0,0,0)+\alpha(-1,-2,1,0)+\beta(-1,1,1,0)+\gamma(-1,0,2,-2) \)

Citar
¿Es relevante el hecho de que \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \)?

Simplemente a la hora de hacer las cuentas operas en  \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \). Por ejemplo:

\( 4\cdot 5=20=6=-1 \)

Saludos.