Autor Tema: Teorema de la función inversa generalizado

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06 Octubre, 2020, 11:09 pm
Respuesta #10

geómetracat

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En tal caso \(  W  \) sería además abierto? Pues si \(  y \in W  \), hay una colección \(  V_1,...,V_n  \) de entornos abiertos de \(  y  \), y \(  y \in \cap_{k=1}^m\partial V_{n+k}  \). Tomamos las correspondientes extensiones \(  V'_{n+1},..., V'_{n+m}  \) que son entornos del punto. Por compacidad local podemos suponer un entorno \(  V\ni y  \) que sólo interseca a esos entornos, entonces:
$$  V\cap \bigcap_{i=1}^n g_i^{-1}(\bigcap_{j=1}^n U_j \cap \bigcap_{k=1}^m U'_{n+k})\cap  \bigcap_{i=1}^m {g'_{n+i}}^{-1}(\bigcap_{j=1}^n U_j \cap \bigcap_{k=1}^m U'_{n+k})$$
(Parece un trabalenguas  :o)
Es un abierto que contiene a \(  y  \) y está contenido en \(  W  \) por construcción
Pues parece que sí. Al menos yo a primera vista lo veo bien.

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Muchas gracias!
Parece mentira que lo propusieran en el libro de Guillemin y Pollack como ejercicio

Sí, suele pasar con estas cosas que siempre acabas con problemas del estilo de topología general. La idea del problema es sencilla, pero los detalles son bastante pesados. Quizás cuando pusieron el problema no lo pensaron a fondo, pensaron la idea general y listo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Octubre, 2020, 11:24 pm
Respuesta #11

alexpglez

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Quería comentar y de paso preguntar. Creo que hemos demostrado una versión ligeramente más fuerte:

Sea \(  f:X \longrightarrow Y  \) una aplicación continua entre espacios topológicos, sea \(  Z \subset X  \) tal que \(  f  \) es un homeomorfismo local en un entorno suyo y \(  f|_Z  \) es un embedding topológico. Supongamos que \(  Y  \) es hereditariamente paracompacto (todo subespacio es paracompacto). Entonces \(  f  \) es un embedding en un entorno de \(  Z  \).

(Al fin y al cabo la demostración es la misma que la anterior)

Por otra parte, creo que en el caso compacto lo siguiente es cierto:

Sea \(  f:X \longrightarrow Y  \) una aplicación continua entre espacios topológicos, sea \(  Z \subset X  \) compaco tal que \(  f  \) es un homeomorfismo local en un entorno suyo. Entonces \(  f  \) es un embedding en un entorno de \(  Z  \).

Mmm, lo voy a pensar

06 Octubre, 2020, 11:33 pm
Respuesta #12

Luis Fuentes

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Hola

Quería comentar y de paso preguntar. Creo que hemos demostrado una versión ligeramente más fuerte:

Sea \(  f:X \longrightarrow Y  \) una aplicación continua entre espacios topológicos, sea \(  Z \subset X  \) tal que \(  f  \) es un homeomorfismo local en un entorno suyo y \(  f|_Z  \) es un embedding topológico. Supongamos que \(  Y  \) es hereditariamente paracompacto (todo subespacio es paracompacto). Entonces \(  f  \) es un embedding en un entorno de \(  Z  \).

(Al fin y al cabo la demostración es la misma que la anterior)

Por otra parte, creo que en el caso compacto lo siguiente es cierto:

Sea \(  f:X \longrightarrow Y  \) una aplicación continua entre espacios topológicos, sea \(  Z \subset X  \) compaco tal que \(  f  \) es un homeomorfismo local en un entorno suyo. Entonces \(  f  \) es un embedding en un entorno de \(  Z  \).

Mmm, lo voy a pensar

Pero si solo exiges homeomorfismo local no vas a poder garantizar que la aplicación sea inyectiva en un entorno de \( Z \) y por tanto no tiene porque ser un embedding (homeomorfismo en la imagen).

Saludos.

06 Octubre, 2020, 11:40 pm
Respuesta #13

geómetracat

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Quería comentar y de paso preguntar. Creo que hemos demostrado una versión ligeramente más fuerte:

Sea \(  f:X \longrightarrow Y  \) una aplicación continua entre espacios topológicos, sea \(  Z \subset X  \) tal que \(  f  \) es un homeomorfismo local en un entorno suyo y \(  f|_Z  \) es un embedding topológico. Supongamos que \(  Y  \) es hereditariamente paracompacto (todo subespacio es paracompacto). Entonces \(  f  \) es un embedding en un entorno de \(  Z  \).

No sé si es tan general como eso, pero sí. Al fin y al cabo, la diferenciabilidad (y la condición de que la diferencial es isomorfismo) solo entra para tener las inversas locales. El resto del argumento es puramente topológico.

No sé si para hacer la maniobra de los \( V_i \) con \( \overline{V_i} \subset V_i' \) necesitas pedir que el espacio sea regular o basta con la paracompacidad. Recuerdo haber visto cosas similares en demostraciones de paracompacidad (quizás en la demostración de que paracompacidad implica la existencia de particiones de la unidad), pero tengo todo esto un tanto oxidado.

Citar
Por otra parte, creo que en el caso compacto lo siguiente es cierto:

Sea \(  f:X \longrightarrow Y  \) una aplicación continua entre espacios topológicos, sea \(  Z \subset X  \) compaco tal que \(  f  \) es un homeomorfismo local en un entorno suyo. Entonces \(  f  \) es un embedding en un entorno de \(  Z  \).
Tal como está es falso porque \( f \) no tiene por qué ser inyectiva ni siquiera restringida a \( Z \). La condición de homeomorfismo local no implica inyectividad. Piensa por ejemplo en la aplicación recubridora \( S^1 \to S^1 \) dada por \( z \mapsto z^2 \).

PD: Se me adelantó Luis.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Octubre, 2020, 12:38 am
Respuesta #14

alexpglez

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Disculpad, no recordaba muy bien y se me olvidó pedir la inyectividad en la segunda conjetura :-[ :-[ :-[ (pensé por un momento que ya implicaba inyectividad...)
https://math.stackexchange.com/questions/2922861/first-generalization-of-the-inverse-function-theorem-q-10-section-1-3-in-allan-p?noredirect=1&lq=1

La idea es coger una sucesión decreciente de conjuntos \(  U_n  \) cuya intersección sea \(  Z  \) (si \(  X  \) es métrico, \(  U_n:=\{x\in X \; | \; d(z,X)<\frac{1}{n}\}  \)). Suponemos que no es inyectiva en ningún entorno de ningún punto de \(  Z  \), cogemos dos sucesiones \(  a_n,b_n \in U_n  \), con \(  a_n\not=b_n  \), \(  f(a_n)=f(b_n)  \). Nos gustaría que tuviesen subsucesiones convergentes a un elemento de \(  z  \) (el mismo por inyectividad pues \(  f(\lim_n a_n)=f(\lim_n b_n)  \) (en el caso métrico se puede hacer perfectamente) y ahora cogiendo un entorno del punto, llegamos a una contradicción con las subsucesiones.

Veo que no es nada trivial, "¿qué condiciones tengo que poner a \(  X  \) para extrapolar este argumento?"...

No sé si para hacer la maniobra de los \( V_i \) con \( \overline{V_i} \subset V_i' \) necesitas pedir que el espacio sea regular o basta con la paracompacidad. Recuerdo haber visto cosas similares en demostraciones de paracompacidad (quizás en la demostración de que paracompacidad implica la existencia de particiones de la unidad), pero tengo todo esto un tanto oxidado.

Cierto, para que valga hay que poner más condiciones. Creo que con paracompacidad sólo no vale... quizá Haussdorf y localmente compacto, pero tampoco lo recuerdo.

Muchas gracias a ambos

Un saludo

07 Octubre, 2020, 08:59 pm
Respuesta #15

alexpglez

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Hola
Hay una errata aquí
En tal caso \(  W  \) sería además abierto? Pues si \(  y \in W  \), hay una colección \(  V_1,...,V_n  \) de entornos abiertos de \(  y  \), y \(  y \in \cap_{k=1}^m\partial V_{n+k}  \). Tomamos las correspondientes extensiones \(  V'_{n+1},..., V'_{n+m}  \) que son entornos del punto. Por compacidad local podemos suponer un entorno \(  V\ni y  \) que sólo interseca a esos entornos, entonces:
$$  V\cap \bigcap_{i=1}^n g_i^{-1}(\bigcap_{j=1}^n U_j \cap \bigcap_{k=1}^m U'_{n+k})\cap  \bigcap_{i=1}^m {g'_{n+i}}^{-1}(\bigcap_{j=1}^n U_j \cap \bigcap_{k=1}^m U'_{n+k})$$
(Parece un trabalenguas  :o)
Es un abierto que contiene a \(  y  \) y está contenido en \(  W  \) por construcción
Pues parece que sí. Al menos yo a primera vista lo veo bien.
Me he dado cuenta de que es mentira  :banghead:. Perfectamente \(  y  \) puede no estar en el abierto que hemos definido. Mientras que \(  g_i(y)=g_j(y)  \), no sabemos si son iguales a los \(  g'_{n+i}(y)  \)  :(.

Sin embargo, para \(  y \in f(Z)  \) deben coincidir todos los \(  g_i  \) y \(  g'_j  \) (por construcción). Luego aunque \(  W  \) puede no ser abierto, sí contiene un entorno de \(  f(Z)  \).

Edito:

PD: Como \(  g_j^{-1}=f|_{U_j}  \) El abierto que hemos definido es precisamente:
$$ V\cap f(U_1\cap \dots \cap U_n \cap U'_{n+1} \cap \dots \cap U'_{n+m}) $$
Creo que la razón por la que lo escribieron de la otra manera, es que habría que ver pensar un poco por qué eso es un abierto (\(  f  \) es abierta en \(  f|_{U_1}  \) por ejemplo)...

Buf, creo que ya está todo bien, ha costado :D

07 Octubre, 2020, 09:04 pm
Respuesta #16

geómetracat

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Tienes toda la razón, los \( g_i' \) no tienen por qué coincidir. Se me pasó a primera vista. Ahora creo que ya queda todo claro.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)