Autor Tema: Teorema de la función inversa generalizado

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05 Octubre, 2020, 07:17 pm
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alexpglez

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Hola, este es el problema 14, sección 8 capítulo 1 de libro Differential Topology de Guillemin y Pollack.
Sea [texx] f:X\longrightarrow Y [/texx] una función suave entre variedades y [texx] Z\subset X [/texx] una subvariedad regular. Supongamos que [texx] f(Z) \subset Y [/texx] es una subvariedad regular y [texx] f|_Z:Z \longrightarrow f(Z) [/texx] es un difeomorfismo. Probar que [texx] f|_U:U\longrightarrow V [/texx] es un difeomorfismo entre dos entornos abiertos [texx]U\supset Z [/texx], [texx] V\supset f(Z) [/texx].

Como pista dicen:
Por el teorema de la función inversa, existen recubrimientos abiertos [texx] \{U_i\}_{i\in I}[/texx], [texx] \{V_i\}_{i\in I} [/texx] de [texx] Z [/texx] y [texx] f(Z) [/texx] tal que [texx] f|_{U_i}:U_i \longrightarrow V_i [/texx] son difeomorfismos.
Sean [texx] g_i=f|_{U_i}^{-1}[/texx] las inversas locales, definimos el conjunto (no necesariamente abierto):
$$ W=\{ y \in \cup_{i\in I}V_i \; | \; g_i(y)=g_j(y), \; \text{si }y\in U_i \cap U_j \}$$
$$g:W \longrightarrow X $$
$$ g(y)=g_i(y), \text{ si }y\in U_i $$
Se cumple que [texx] W \supset f(Z) [/texx] y [texx] g[/texx] es una inversa de [texx] f[/texx]. (Falta probar que [texx] W [/texx] contiene un entorno de [texx] f(Z) [/texx])

Probar que [texx] \{V_i\}_{i\in I} [/texx] se puede escoger localmente finita y, en este caso, que [texx] W [/texx] contiene un entorno de [texx] f(Z) [/texx].

Esto último es lo que no consigo hacer.
¿Cómo demuestro que puedo escoger [texx] \{V_i\}_{i\in I} [/texx] es localmente finita?
¿Cómo demuestro que [texx] W [/texx] contiene un entorno de [texx] f(Z) [/texx]? ¿W es un abierto?

Muchas gracias

05 Octubre, 2020, 07:52 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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05 Octubre, 2020, 09:03 pm
Respuesta #2

alexpglez

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Hola

 La posibilidad de escoger el recubrimiento localmente finito es consecuencia de la paracompacidad de las variedades diferenciables. Para lo otro mira por aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/393932/showing-a-diffeomorphism-extends-to-the-neighborhood-of-a-submanifold/394074#comment2878604_394074
https://math.stackexchange.com/questions/1413022/generalization-of-inverse-function-theorem-to-noncompact-submanifoldss

Saludos.
Hola Luis,
Muchas gracias. Los he estado leyendo y es que no me convencen del todo...
Tengo dos preguntas:
1) Como [texx] \cup_i V_i \subset Y [/texx] es un abierto, es en particular una variedad. [texx] \{V_i\} [/texx] es un recubrimiento, luego por paracompacidad existe un refinamiento [texx] \{V'_i\} [/texx] localmente finito. (No sé si está correcto, porque creo que debería usar que [texx] f(Z) [/texx] es una subvariedad)

La segunda pregunta no la tengo todavía muy pensada. Pero es que no me cuadra que funcione el [texx] W [/texx], y todas las explicaciones que he encontrado me han parecido incompletas (¿habría que usar que [texx] f(Z) [/texx] es una subvariedad?) ¿W sería abierto o sólo contendría un entorno de [texx] f(Z) [/texx]?

05 Octubre, 2020, 11:36 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Diría que te has dejado una hipótesis crucial: \( df_p \) es un isomorfismo para todo \( p \in Z \). Sin esto, el teorema es falso.

Tengo dos preguntas:
1) Como [texx] \cup_i V_i \subset Y [/texx] es un abierto, es en particular una variedad. [texx] \{V_i\} [/texx] es un recubrimiento, luego por paracompacidad existe un refinamiento [texx] \{V'_i\} [/texx] localmente finito. (No sé si está correcto, porque creo que debería usar que [texx] f(Z) [/texx] es una subvariedad)
Sí, está bien. No hace falta usar que \( f(Z) \) es subvariedad.

Citar
La segunda pregunta no la tengo todavía muy pensada. Pero es que no me cuadra que funcione el [texx] W [/texx], y todas las explicaciones que he encontrado me han parecido incompletas (¿habría que usar que [texx] f(Z) [/texx] es una subvariedad?) ¿W sería abierto o sólo contendría un entorno de [texx] f(Z) [/texx]?
En general \( W \) no es abierto. Si supones que \( \{V_i\} \) es localmente finito, entonces puedes probar que contiene a un entorno de \( f(Z) \) como en la primea respuesta del segundo enlace de Luis. Ahí lo hacen para dos abiertos, pero es obvio como se puede generalizar para un número finito. Y para reducir a un número finito usas la finitud local: dado \( p \in f(Z) \) existe un entorno \( V \) que corta únicamente a un número finito de los \( V_i \), digamos \( V_1, \dots V_n \), de manera que si te restringes a \( V \cap V_1 \cap \dots \cap V_n \) solamente tienes que tratar con \( n \) inversas locales. como \( p \) tiene un entorno que corta solo a un número finito de los \( V_i \), \( p \) pertenece solamente al dominio de un número finito de inversas locales. Aquí tampoco hace falta usar que \( f(Z) \) es subvariedad.

De hecho, bajo las condiciones dadas, siempre tienes que \( f(Z) \) es subvariedad inmersa (por ser imagen de una variedad por una inmersión inyectiva).
Que es subvariedad (embebida) es necesario porque si no \( W \) no contiene a \( f(Z) \).  El asunto está en que si \( f(Z) \) es una subvariedad inmersa pero no embebida, tienes algún punto \( p \in Z \) tal que para cualquier entorno \( U_i \) de \( p \) cualquier entorno de \( f(p) \) corta a puntos de \( f(Z) \) distintos de los de \( f(U_i) \). Esto hace que al definir las inversas locales tengas que hay puntos \( y \in f(Z) \) tales que las inversas locales no coinciden, por muy pequeños que tomes los entornos, y por tanto \( y \notin W \).

Así en abstracto no sé si se verá muy claro, pero si piensas en el típico ejemplo de variedad inmersa no embebida, la figura ocho (imagen de una inmersión inyectiva \( \Bbb R \to \Bbb R^2 \)) y piensas en el punto central, que cumple que cualquier entorno suyo contiene a puntos de los extremos, lo verás mejor.

Corregido.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Octubre, 2020, 12:37 am
Respuesta #4

alexpglez

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Hola geómetracat,
Muchas gracias
Diría que te has dejado una hipótesis crucial: \( df_p \) es un isomorfismo para todo \( p \in Z \). Sin esto, el teorema es falso.
Jeje, lapsus. Se me olvidó escribirlo pero estaba implícito desde mi primera argumentación  ;D

En general \( W \) no es abierto. Si supones que \( \{V_i\} \) es localmente finito, entonces puedes probar que contiene a un entorno de \( f(Z) \) como en la primea respuesta del segundo enlace de Luis. Ahí lo hacen para dos abiertos, pero es obvio como se puede generalizar para un número finito. Y para reducir a un número finito usas la finitud local: dado \( p \in f(Z) \) existe un entorno \( V \) que corta únicamente a un número finito de los \( V_i \), digamos \( V_1, \dots V_n \), de manera que si te restringes a \( V \cap V_1 \cap \dots \cap V_n \) solamente tienes que tratar con \( n \) inversas locales. Aquí tampoco hace falta usar que \( f(Z) \) es subvariedad.
El problema es que [texx] p [/texx] puede no estar en la intersección \( V \cap V_1 \cap \dots \cap V_n \), y no se puede arreglar cogiendo [texx] V [/texx] más pequeño: si [texx] p\in \partial V_i [/texx], [texx] p\not\in V_i [/texx] pero cualquier entorno [texx] V [/texx] corta a [texx] V_i [/texx].
Tampoco entiendo mucho tu prueba. Podemos escoger el entorno [texx] V [/texx] tal que [texx] f|_{f^{-1}(V)}:f^{-1}(V) \longrightarrow V [/texx] sea difeomorfismo, en particular una biyección, si además escogemos [texx] V \subset V_{i_1} [/texx], ¿entonces automáticamente [texx] V \subset W [/texx]? Porque todas las [texx] g_i [/texx] deberían coincidir en [texx] V [/texx] (por la biyectividad de [texx] f [/texx]).

De hecho, bajo las condiciones dadas, siempre tienes que \( f(Z) \) es subvariedad inmersa (por ser imagen de una variedad por una inmersión inyectiva).
Que es subvariedad (embebida) es necesario porque si no \( W \) no contiene a \( f(Z) \).  El asunto está en que si \( f(Z) \) es una subvariedad inmersa pero no embebida, tienes algún punto \( p \in Z \) tal que para cualquier entorno \( U_i \) de \( p \) cualquier entorno de \( f(p) \) corta a puntos de \( f(Z) \) distintos de los de \( f(U_i) \). Esto hace que al definir las inversas locales tengas que hay puntos \( y \in f(Z) \) tales que las inversas locales no coinciden, por muy pequeños que tomes los entornos, y por tanto \( y \notin W \).

Así en abstracto no sé si se verá muy claro, pero si piensas en el típico ejemplo de variedad inmersa no embebida, la figura ocho (imagen de una inmersión inyectiva \( \Bbb R \to \Bbb R^2 \)) y piensas en el punto central, que cumple que cualquier entorno suyo contiene a puntos de los extremos, lo verás mejor.
Mmm, si fuese verdad lo que he dicho antes no haría falta ni que [texx] f(Z) [/texx] fuese subvariedad regular, ni que [texx] V_i [/texx] fuese localmente finito. Así que me he equivocado en algo  :'(. Intento visualizar el ejemplo pero no lo termino de ver...

06 Octubre, 2020, 02:15 am
Respuesta #5

alexpglez

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De hecho, bajo las condiciones dadas, siempre tienes que \( f(Z) \) es subvariedad inmersa (por ser imagen de una variedad por una inmersión inyectiva).
Que es subvariedad (embebida) es necesario porque si no \( W \) no contiene a \( f(Z) \).  El asunto está en que si \( f(Z) \) es una subvariedad inmersa pero no embebida, tienes algún punto \( p \in Z \) tal que para cualquier entorno \( U_i \) de \( p \) cualquier entorno de \( f(p) \) corta a puntos de \( f(Z) \) distintos de los de \( f(U_i) \). Esto hace que al definir las inversas locales tengas que hay puntos \( y \in f(Z) \) tales que las inversas locales no coinciden, por muy pequeños que tomes los entornos, y por tanto \( y \notin W \).

Así en abstracto no sé si se verá muy claro, pero si piensas en el típico ejemplo de variedad inmersa no embebida, la figura ocho (imagen de una inmersión inyectiva \( \Bbb R \to \Bbb R^2 \)) y piensas en el punto central, que cumple que cualquier entorno suyo contiene a puntos de los extremos, lo verás mejor.
Ya veo mi error. Es complicado no liarse con tantas letras, pero ahí va mi explicación:
Voy a utilizar la misma notación que antes.
Imaginemos que [texx] f(U_i\cap Z)=f(U_i)\cap f(Z) [/texx], entonces [texx] g_i(V_i \cap f(Z))=U_i \cap Z [/texx]
Sea [texx] x \in Z [/texx]:
$$ f(x) \in W \; \Leftrightarrow \; g_i\circ f(x)=g_j\circ f(x) \; \text{si }f(x) \in U_i\cap U_j) \forall i,j $$
Supongamos que [texx] f(x) \in U_i\cap U_j [/texx].
$$ f(x)=fg_if(x)=fg_jf(x)=f(x) $$
Pero:
$$ g_jf(x), \; g_if(x)\in  Z $$
Y como [texx] f [/texx] es inyectiva en [texx] Z [/texx]:
$$ g_if(x)=g_jf(x) $$
Para todo par de índices, luego [texx] f(x) \in W [/texx]. Como era para un [texx] x \in Z [/texx], [texx] f(Z)\subset W [/texx].

Ahora, ¿cómo se demostraría que si [texx] f(Z) [/texx] es subvariedad regular, entonces [texx] f(U_i\cap Z)=f(U_i)\cap f(Z) [/texx]? (O más bien, ¿cómo podemos tomar un recubrimiento que cumpla eso?)
En el ejemplo del 8 que mencionas, se ve que no lo cumplen los entornos del 0.

Muchas gracias

06 Octubre, 2020, 08:51 am
Respuesta #6

geómetracat

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El problema es que [texx] p [/texx] puede no estar en la intersección \( V \cap V_1 \cap \dots \cap V_n \), y no se puede arreglar cogiendo [texx] V [/texx] más pequeño: si [texx] p\in \partial V_i [/texx], [texx] p\not\in V_i [/texx] pero cualquier entorno [texx] V [/texx] corta a [texx] V_i [/texx].
Tienes toda la razón, eso está mal. El argumento es más simple: si el recubrimiento es localmente finito \( p \) únicamente puede pertenecer al dominio de un número finito de inversas locales. Ahora puedes aplicar el argumento del enlace de Luis.

Citar
Tampoco entiendo mucho tu prueba. Podemos escoger el entorno [texx] V [/texx] tal que [texx] f|_{f^{-1}(V)}:f^{-1}(V) \longrightarrow V [/texx] sea difeomorfismo, en particular una biyección, si además escogemos [texx] V \subset V_{i_1} [/texx], ¿entonces automáticamente [texx] V \subset W [/texx]? Porque todas las [texx] g_i [/texx] deberían coincidir en [texx] V [/texx] (por la biyectividad de [texx] f [/texx]).
Si \( V \subset V_1 \), sí, todas las inversas locales coinciden en \( V \) porque \( f\mid_V \) es biyectiva. Pero en general no podrás hacer eso, sino que \( V \) cortará a varios \( V_i \) y es entonces cuando hay que ir con cuidado porque varias inversas locales no tienen por qué coincidir.

Ya veo mi error. Es complicado no liarse con tantas letras, pero ahí va mi explicación:
Voy a utilizar la misma notación que antes.
Imaginemos que [texx] f(U_i\cap Z)=f(U_i)\cap f(Z) [/texx], entonces [texx] g_i(V_i \cap f(Z))=U_i \cap Z [/texx]
Sea [texx] x \in Z [/texx]:
$$ f(x) \in W \; \Leftrightarrow \; g_i\circ f(x)=g_j\circ f(x) \; \text{si }f(x) \in U_i\cap U_j) \forall i,j $$
Supongamos que [texx] f(x) \in U_i\cap U_j [/texx].
$$ f(x)=fg_if(x)=fg_jf(x)=f(x) $$
Pero:
$$ g_jf(x), \; g_if(x)\in  Z $$
Y como [texx] f [/texx] es inyectiva en [texx] Z [/texx]:
$$ g_if(x)=g_jf(x) $$
Para todo par de índices, luego [texx] f(x) \in W [/texx]. Como era para un [texx] x \in Z [/texx], [texx] f(Z)\subset W [/texx].
Sí, está bien.

Citar
Ahora, ¿cómo se demostraría que si [texx] f(Z) [/texx] es subvariedad regular, entonces [texx] f(U_i\cap Z)=f(U_i)\cap f(Z) [/texx]? (O más bien, ¿cómo podemos tomar un recubrimiento que cumpla eso?)
En el ejemplo del 8 que mencionas, se ve que no lo cumplen los entornos del 0.

Se demuestra que siempre se puede tomar un recubrimiento que cumpla eso (un recubrimiento arbitrario no tiene por qué cumplirlo, claro). Para ello se usa que una subvariedad embebida es subvariedad con la topología inducida por la variedad grande. Sea \( U \subset X \) abierto donde \( f\mid_U:U \to V \) es difeomorfismo, y además \( U\cap Z \) es el dominio de una carta de \( Z \) (cosa que siempre puedes conseguir haciendo \( U \) más pequeño si es necesario). Ahora, como \( f\mid_Z:Z \to f(Z) \) es difeomorfismo, \( f(U \cap Z) \) es el dominio de una carta en \( f(Z) \), y por tanto abierto en \( f(Z) \). Como \( f(Z) \) es subvariedad con la topología inducida por \( Y \), hay un abierto \( V' \subset Y \) tal que \( V' \cap f(Z)= f(U \cap Z) \). Ahora puedes tomar \( U''=f^{-1}(V \cap V') \) y \( V''=V \cap V' \) y tienes un difeomorfismo local \( f\mid_{U''}:U'' \to V'' \) que cumple la condición.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Octubre, 2020, 06:36 pm
Respuesta #7

alexpglez

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Se demuestra que siempre se puede tomar un recubrimiento que cumpla eso (un recubrimiento arbitrario no tiene por qué cumplirlo, claro). Para ello se usa que una subvariedad embebida es subvariedad con la topología inducida por la variedad grande. Sea \( U \subset X \) abierto donde \( f\mid_U:U \to V \) es difeomorfismo, y además \( U\cap Z \) es el dominio de una carta de \( Z \) (cosa que siempre puedes conseguir haciendo \( U \) más pequeño si es necesario). Ahora, como \( f\mid_Z:Z \to f(Z) \) es difeomorfismo, \( f(U \cap Z) \) es el dominio de una carta en \( f(Z) \), y por tanto abierto en \( f(Z) \). Como \( f(Z) \) es subvariedad con la topología inducida por \( Y \), hay un abierto \( V' \subset Y \) tal que \( V' \cap f(Z)= f(U \cap Z) \). Ahora puedes tomar \( U''=f^{-1}(V \cap V') \) y \( V''=V \cap V' \) y tienes un difeomorfismo local \( f\mid_{U''}:U'' \to V'' \) que cumple la condición.
Gracias. Ya veo bien las condiciones: sólo hemos usado que [texx] f|_{Z}:Z \longrightarrow Y [/texx] es un homeomorfismo a la imagen para que \( f(U \cap Z) \) sea abierto de [texx] f(Z) [/texx]. (Si es un homeomorfismo a la imagen, como ya era una inmersión inyectiva, tiene que ser un embedding cuya imagen \(  f(Z)  \) es una subvariedad regular).

Pero sigo sin ver por qué contiene a un entorno de \(  f(Z)  \). Lo he estado intentando pero no lo veo. Supongamos que \(  p=f(x) \in f(Z)  \), por finitud local sólo corta a \(  V_1,...,V_n  \). Por finitud local también suponemos que \(  p \in \partial V_{n+1},...,\partial V_{n+m}  \) y tomamos un entorno de \(  V  \) que sólo corta a estos \( n+m  \) conjuntos (igual los necesitamos, igual no).
$$ V'=V\cap g_1^{-1}(U_1\cap \dots \cap U_n)\cap \dots \cap g_n^{-1}(U_1\cap \dots \cap U_n) $$
Claramente es un abierto donde coinciden \(  g_1,...,g_n  \), y contiene a \(  p  \). Pero no tienen por qué coincidir los \(  g_{n+1},...,g_{n+m}  \)...




06 Octubre, 2020, 09:58 pm
Respuesta #8

geómetracat

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Tienes razón, es más delicado de lo que parecía. No he podido pensarlo mucho ni se me ha ocurrido una manera muy directa de hacerlo, pero puedes usar el siguiente truco que creo que debería funcionar.

La idea sería tomar los \( V_i \) de manera que cada uno se pueda extender a un \( V_i' \) con \( \overline{V_i} \subset V_i' \) y de manera que los \( g_i \) se extiendan a un difeomorfismo en \( V_i' \). Esto lo puedes conseguir tomando unos entornos iniciales donde \( f \) es difeomorfismo, luego tomando abiertos más pequeños que cumplan la condición (y sigan recubriendo \( f(Z) \)) y finalmente pasando a un recubrimiento localmente finito.

Ahora, con la notación de tu último mensaje, puedes considerar \( V_1, \dots, V_n, V'_{n+1}, \dots, V'_{n+m} \). Todos estos abiertos son entornos de \( p \) y puedes aplicar el procedimiento del enlace. Si no se me ha vuelto a pasar nada por alto esto debería dar un entorno abierto de \( p \) donde coinciden todas las \( g_i \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Octubre, 2020, 10:56 pm
Respuesta #9

alexpglez

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Tienes razón, es más delicado de lo que parecía. No he podido pensarlo mucho ni se me ha ocurrido una manera muy directa de hacerlo, pero puedes usar el siguiente truco que creo que debería funcionar.

La idea sería tomar los \( V_i \) de manera que cada uno se pueda extender a un \( V_i' \) con \( \overline{V_i} \subset V_i' \) y de manera que los \( g_i \) se extiendan a un difeomorfismo en \( V_i' \). Esto lo puedes conseguir tomando unos entornos iniciales donde \( f \) es difeomorfismo, luego tomando abiertos más pequeños que cumplan la condición (y sigan recubriendo \( f(Z) \)) y finalmente pasando a un recubrimiento localmente finito.

Ahora, con la notación de tu último mensaje, puedes considerar \( V_1, \dots, V_n, V'_{n+1}, \dots, V'_{n+m} \). Todos estos abiertos son entornos de \( p \) y puedes aplicar el procedimiento del enlace. Si no se me ha vuelto a pasar nada por alto esto debería dar un entorno abierto de \( p \) donde coinciden todas las \( g_i \).
Tiene sentido, ya no veo que haya problema. Te defines \(  W  \) con ayuda de la colección localmente finita \(  V_i  \) y te ayudas con los \(  V'_i  \).

En tal caso \(  W  \) sería además abierto? Pues si \(  y \in W  \), hay una colección \(  V_1,...,V_n  \) de entornos abiertos de \(  y  \), y \(  y \in \cap_{k=1}^m\partial V_{n+k}  \). Tomamos las correspondientes extensiones \(  V'_{n+1},..., V'_{n+m}  \) que son entornos del punto. Por compacidad local podemos suponer un entorno \(  V\ni y  \) que sólo interseca a esos entornos, entonces:
$$  V\cap \bigcap_{i=1}^n g_i^{-1}(\bigcap_{j=1}^n U_j \cap \bigcap_{k=1}^m U'_{n+k})\cap  \bigcap_{i=1}^m {g'_{n+i}}^{-1}(\bigcap_{j=1}^n U_j \cap \bigcap_{k=1}^m U'_{n+k})$$
(Parece un trabalenguas  :o)
Es un abierto que contiene a \(  y  \) y está contenido en \(  W  \) por construcción

Muchas gracias!
Parece mentira que lo propusieran en el libro de Guillemin y Pollack como ejercicio