Autor Tema: Una superficie regular no cubre a ningún abierto de \(\mathbb{R}^3\)

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05 Octubre, 2020, 03:00 am
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Miguel.hs

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Este problema me ha traido varios problemas porque no sé de donde comenzar a resolverlo, si tienen alguna idea es bienvenida:

Sea \(S\subset\mathbb{R}^3\) una superficie regular. Probar que \(\mathbb{R}^3\setminus S\) es denso en \(\mathbb{R}^3\)

05 Octubre, 2020, 10:01 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Este problema me ha traido varios problemas porque no sé de donde comenzar a resolverlo, si tienen alguna idea es bienvenida:

Sea \(S\subset\mathbb{R}^3\) una superficie regular. Probar que \(\mathbb{R}^3\setminus S\) es denso en \(\mathbb{R}^3\)

Si no fuese denso, existe una bola abierta de \( \Bbb R^3  \) contenida en \( S \). Por ser \( S \) una superficie regular es localmente homeomorfa a un plano y por tanto existiría una bola abierta de \( \Bbb R^2 \) homeomorfa a una bola abierta de \( \Bbb R^3 \).

Queda probar que ese homeomorfismo es imposible. No tengo claro si hay una forma "fácil" de probar esto sin usar mucha artillería. Una forma (si manejas la teoría topológica que subyace en el argumento) es notar que una bola abierta menos un punto no es simplemente conexo pero una bola abierta en \( \Bbb R^3 \) menos un punto SI es simplemente conexa.

Saludos.

P.D. Al respecto te puede interesar este hilo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=53680.0

05 Octubre, 2020, 10:42 am
Respuesta #2

geómetracat

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Una alternativa que no requiere topología algebraica es usar la diferenciabilidad.
Considera una parametrización \( \phi: U \to S \subseteq \Bbb R^3 \), con \( U \) abierto de \( \Bbb R^2 \). Como \( S \) es regular, \( \phi \) es una inmersión de un abierto de \( \Bbb R^2 \) en \( \Bbb R^3 \). Pero hay un teorema que te dice que localmente (tal vez reduciendo \( U \) y cambiando coordenadas en dominio y llegada) \( \phi \) es de la forma \( \phi(x,y)=(x,y,0) \), de forma que la imagen no contiene ningún abierto de \( \Bbb R^3 \).

Esto requiere conocer el teorema de la forma local de las inmersiones, que no es muy complicado (básicamente es usar el teorema de la función implícita) pero que no sé si conocerás. No se me ocurre una manera completamente elemental de probarlo, pero esta es la más sencilla que se me ocurre.

Con más maquinaria, otra prueba casi inmediata es usar el teorema de Sard: si tienes \( \phi:U \to \Bbb R^3 \) diferenciable, con \( U \subseteq \Bbb R^2 \) abierto, el conjunto de valores críticos de \( \phi \) es \( \phi(U) \), que es de medida nula por el teorema de Sard. Así, no puede contener ningún abierto de \( \Bbb R^3 \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Octubre, 2020, 10:52 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Una alternativa que no requiere topología algebraica es usar la diferenciabilidad.
Considera una parametrización \( \phi: U \to S \subseteq \Bbb R^3 \), con \( U \) abierto de \( \Bbb R^2 \). Como \( S \) es regular, \( \phi \) es una inmersión de un abierto de \( \Bbb R^2 \) en \( \Bbb R^3 \). Pero hay un teorema que te dice que localmente (tal vez reduciendo \( U \) y cambiando coordenadas en dominio y llegada) \( \phi \) es de la forma \( \phi(x,y)=(x,y,0) \), de forma que la imagen no contiene ningún abierto de \( \Bbb R^3 \).

Cierto. Estaba obviando la diferenciabilidad centrándome en lo topológico, y ciertamente facilita las cosas.

Saludos.

12 Octubre, 2020, 10:51 pm
Respuesta #4

Miguel.hs

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Muchas gracias a los dos, me han dado una variedad de maneras de ver el problema.

Saludos.