Autor Tema: Proyección Estereográfica Elipsoidal

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01 Octubre, 2020, 07:00 pm
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Miguel.hs

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
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Hola, encrontré este problema, la parte \(1)\) me salió componiendo un difeomorfismo entre la esfera y el elipsoide con la proyección estereográfica normal (de la esfera), pero para el item \(2)\) no tengo una idea clara, alguién me podría ayudar?

Problema.- Considere el elipsoide
\[S=\left\{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\right\}\subset\mathbb{R}^3,\;a,b,c>0.\]
Sea \(N=(0,0,c)\), el polo norte de \(S\). Defina la proyección estereográfica
\[\pi:S\setminus\{N\}\to\mathbb{R}^2\times\{0\}\].
  • ¿Es \(\pi\) un difeomorfismo?
  • Si \(S\) no es una esfera, ¿puede \(\pi\) ser conforme?

02 Octubre, 2020, 11:35 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola, encrontré este problema, la parte \(1)\) me salió componiendo un difeomorfismo entre la esfera y el elipsoide con la proyección estereográfica normal (de la esfera), pero para el item \(2)\) no tengo una idea clara, alguién me podría ayudar?

Problema.- Considere el elipsoide
\[S=\left\{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\right\}\subset\mathbb{R}^3,\;a,b,c>0.\]
Sea \(N=(0,0,c)\), el polo norte de \(S\). Defina la proyección estereográfica
\[\pi:S\setminus\{N\}\to\mathbb{R}^2\times\{0\}\].
  • ¿Es \(\pi\) un difeomorfismo?
  • Si \(S\) no es una esfera, ¿puede \(\pi\) ser conforme?

Si fuese conforme también lo sería el difeomorfismo que has usado para componer en la primera parte del ejercicio. ¿Lo es?.

Saludos.

05 Octubre, 2020, 02:56 am
Respuesta #2

Miguel.hs

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Hola, al hacer las cuentas suponiendo que la aplicación que tomé es conforme se llega a que \(a^2=b^2=c^2\) es decir únicamente \(\pi\) es conforme cuando \(S\) es una esfera.

Saludos