Autor Tema: Formula de Grassman y ecuaciones parametricas/cartesianas

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25 Septiembre, 2020, 11:37 pm
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Julio_fmat

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Donde dice Formula debería ir Fórmula
Donde dice parametricas debería ir paramétricas.
En tu navegador (en extensiones) puedes colocar algún corrector ortográfico
.

En \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \) sean \( \Lambda_1: x_0=x_1=x_2 \), \( \Lambda_2: x_1-x_2=x_4=x_5=0 \), \( \Lambda_3: x_0=x_2=x_1-x_3=x_3-x_5=0 \) tres subespacios lineales proyectivos.

a) Calcular \( \dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2+\Lambda_3) \)

b) Hallar las ecuaciones parametricas y cartesiana de \( \Lambda_1+\Lambda_2 \) y \( \Lambda_2\cap \{x_2-x_3=0\} \).

Hola, para el item a) podemos usar la Formula de Grassmann dada por

\( \dim_{\mathbb{K}}(\mathbb{P}(W_1)+\mathbb{P}(W_2))=\dim_{\mathbb{K}} \mathbb{P}(W_1)+\dim_{\mathbb{K}} \mathbb{P}(W_2)-\dim_{\mathbb{K}} (\mathbb{P}(W_1)\cap \mathbb{P}(W_2)) \)

b) Para el b) estoy un poco perdido. En todo caso, las ecuaciones parametricas yo las puedo calcular en funcion de un parametro, o los parametros tales que \( \lambda_i\in \mathbb{K} \), y las cartesianas se pueden obtener resolviendo un determinante de 4x4 o de 5x5, etc, dependiendo de cuantas variables hallan.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

28 Septiembre, 2020, 10:28 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Donde dice Formula debería ir Fórmula
Donde dice parametricas debería ir paramétricas.
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.

En \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \) sean \( \Lambda_1: x_0=x_1=x_2 \), \( \Lambda_2: x_1-x_2=x_4=x_5=0 \), \( \Lambda_3: x_0=x_2=x_1-x_3=x_3-x_5=0 \) tres subespacios lineales proyectivos.

a) Calcular \( \dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2+\Lambda_3) \)

b) Hallar las ecuaciones parametricas y cartesiana de \( \Lambda_1+\Lambda_2 \) y \( \Lambda_2\cap \{x_2-x_3=0\} \).

Hola, para el item a) podemos usar la Formula de Grassmann dada por

\( \dim_{\mathbb{K}}(\mathbb{P}(W_1)+\mathbb{P}(W_2))=\dim_{\mathbb{K}} \mathbb{P}(W_1)+\dim_{\mathbb{K}} \mathbb{P}(W_2)-\dim_{\mathbb{K}} (\mathbb{P}(W_1)\cap \mathbb{P}(W_2)) \)

Si.

Citar
b) Para el b) estoy un poco perdido. En todo caso, las ecuaciones parametricas yo las puedo calcular en funcion de un parametro, o los parametros tales que \( \lambda_i\in \mathbb{K} \), y las cartesianas se pueden obtener resolviendo un determinante de 4x4 o de 5x5, etc, dependiendo de cuantas variables hallan.

Las cartesianas de la intersección son la unión de las cartesianas de cada uno de los subespacios que intersecas. Después comprueba si son independientes y ya las tienes.

Por ejemplo para \( \Lambda_2\cap \{x_2-x_3=0\} \) tienes:

\( \left\{\begin{array}{l}
{\left.\begin{array}{l}
{x_1-x_2=0}\cr
{x_4=0}\cr
{x_5=0}\cr
\end{array}\right\}\Lambda_2}\cr
{x_2-x_3=0}\cr
\end{array}
\right. \)

Escalonamos (aunque ya casi está)  la matriz de coeficientes de las cinco ecuaciones para eliminar las posibles relaciones de dependencia:

\( \begin{pmatrix}{1}&{-1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{-1}&{0}&{0}\end{pmatrix}
\longrightarrow
\begin{pmatrix}{1}&{-1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{-1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{1}\end{pmatrix} \)

Por tanto las cartesianas de la intersección son:

\( \left\{\begin{array}{l}
{x_1-x_2=0}\cr
{x_2-x_3=0}\cr
{x_4=0}\cr
{x_5=0}\cr
\end{array}
\right. \)

Las paramétricas se obtienen resolviendo paramétricamente el sistema, respecto a \( 5-\textsf{nº de ecuaciones indpendientes} \) parámetros.

En este caso queda:

\( x_1=\lambda,\quad x_2=\lambda,\quad x_3=\lambda,\quad x_4=0,\quad x_5=0 \)

Eso quieres decir que el subespacio vectorial asociado a la variedad proyectiva está generado por el vector \( (1,1,1,0,0). \)

Para calcular la suma de variedades proyectivas, halla las paramétricas y a partir de ahí los vectores generadores de cada subespacio. La unión de todos ellos genera el subespacio suma. Elimina los posibles vectores dependientes (por ejemplo escalonando la matriz de coordenadas de los mismos) y tendrás los generadores de la suma. A partir de ahí paramétricas y eliminando parámetros cartesianas.

Saludos.

04 Octubre, 2020, 10:30 pm
Respuesta #2

Julio_fmat

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Hola, muchas gracias Luis Fuentes, pero tengo duda con el item a) \( \dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2+\Lambda_3) \), como queda?
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05 Octubre, 2020, 09:07 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Hola, muchas gracias Luis Fuentes, pero tengo duda con el item a) \( \dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2+\Lambda_3) \), como queda?

\( \Lambda_2 \) está definida por tres ecuaciones independientes en  \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \), por tanto tiene dimensión \( 5-3=2 \).

\( \Lambda_4 \) está definida por cuatro ecuaciones independientes en  \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \), por tanto tiene dimensión \( 5-4=1 \).

\( \Lambda_2\cap \Lambda_4 \) está definida por las ecuaciones de \( \Lambda_2 \) y \( \Lambda_4 \), completando un sistema de seis ecuaciones independientes. Por tanto la intersección tiene dimensión \( -1 \) (no se intersecan proyectivamente; vectorialmente sólo en el cero).

Entonces:

\( \dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2+\Lambda_3)=\dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2)+\dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_3)-\dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2\cap \Lambda_3)=2+1-(-1)=4 \)

Saludos.

P.D. Me estoy refiriendo en todo momento a dimensión proyectiva.

05 Octubre, 2020, 07:00 pm
Respuesta #4

Julio_fmat

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Hola

Hola, muchas gracias Luis Fuentes, pero tengo duda con el item a) \( \dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2+\Lambda_3) \), como queda?

\( \Lambda_2 \) está definida por tres ecuaciones independientes en  \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \), por tanto tiene dimensión \( 5-3=2 \).

\( \Lambda_4 \) está definida por cuatro ecuaciones independientes en  \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \), por tanto tiene dimensión \( 5-4=1 \).

\( \Lambda_2\cap \Lambda_4 \) está definida por las ecuaciones de \( \Lambda_2 \) y \( \Lambda_4 \), completando un sistema de seis ecuaciones independientes. Por tanto la intersección tiene dimensión \( -1 \) (no se intersecan proyectivamente; vectorialmente sólo en el cero).

Entonces:

\( \dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2+\Lambda_3)=\dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2)+\dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_3)-\dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2\cap \Lambda_3)=2+1-(-1)=4 \)

Saludos.

P.D. Me estoy refiriendo en todo momento a dimensión proyectiva.

Muchas Gracias Luis, pero no acabo de entender porque \( \dim (\Lambda_2 \cap \Lambda_3)=-1 \). Aaa, y creo que son 7 ecuaciones independientes.
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05 Octubre, 2020, 07:04 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Muchas Gracias Luis, pero no acabo de entender porque \( \dim (\Lambda_2 \cap \Lambda_3)=-1 \). Aaa, y creo que son 7 ecuaciones independientes.

No pueden ser \( 7 \) ecuaciones INDEPENDIENTES porque sólo hay seis variable. Por tanto como máximo puede haber \( 6 \) ecuaciones INDEPENDIENTES.

Por otra parte:

\( \Lambda_2\cap \Lambda_3 \) está definida por seis ecuaciones independientes en  \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \), por tanto tiene dimensión \( 5-6=-1 \).

Nota que dimensión \( -1 \) significa intersección vacía, es decir, que las variedades \( \Lambda_2 \)  y \( \Lambda_3 \)  proyectivas NO se intersecan.

Saludos.

05 Octubre, 2020, 08:40 pm
Respuesta #6

Julio_fmat

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Hola de nuevo, tengo duda con la matriz

\( \begin{bmatrix}{1}&{-1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{-1}&{0}&{0}\end{bmatrix} \)

¿Como se obtiene? Aaa, en este caso solo se ha obtenido las ecuaciones parametricas de \( \Lambda_2\cap \{x_2-x_3=0\} \)? Y como puedo calcular las ecuaciones cartesianas?
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05 Octubre, 2020, 08:49 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Hola de nuevo, tengo duda con la matriz

\( \begin{bmatrix}{1}&{-1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{-1}&{0}&{0}\end{bmatrix} \)

¿Como se obtiene?

Esa matriz corresponde a los coeficientes del sistema de ecuaciones:

\( \left\{\begin{array}{l} {\left.\begin{array}{l} {x_1-x_2=0}\cr {x_4=0}\cr {x_5=0}\cr \end{array}\right\}\Lambda_2}\cr {x_2-x_3=0}\cr \end{array} \right. \)

Pero tiene un error porque olvidé que la primera variable es \( x_0 \). Entonces sería:

\( \begin{bmatrix}{\color{red}0\color{black}}&{1}&{-1}&{0}&{0}&{0}\\{\color{red}0\color{black}}&{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{\color{red}0\color{black}}&{0}&{0}&{0}&{0}&{1}\\{\color{red}0\color{black}}&{0}&{1}&{-1}&{0}&{0}\end{bmatrix} \)

La primera ecuación \( x_1-x_2=0  \) es:

\( 0\cdot x_0+1\cdot x_1-1\cdot x_2+0\cdot x_3+0\cdot x_4+0\cdot x_5=0 \)

y por eso la primera fila de la matriz es \( (0,1,-1,0,0,0) \) y lo análogo con las demás.

Citar
Aaa, en este caso solo se ha obtenido las ecuaciones parametricas de \( \Lambda_2\cap \{x_2-x_3=0\} \)? Y como puedo calcular las ecuaciones cartesianas?

Al contrario lo que se obtiene de manera inmediata son las cartesianas:

Por tanto las cartesianas de la intersección son:

\( \left\{\begin{array}{l}
{x_1-x_2=0}\cr
{x_2-x_3=0}\cr
{x_4=0}\cr
{x_5=0}\cr
\end{array}
\right. \)

Las paramétricas se calculan después:

Citar
Las paramétricas se obtienen resolviendo paramétricamente el sistema, respecto a \( 5-\textsf{nº de ecuaciones indpendientes} \) parámetros.

En este caso queda:

\( x_1=\lambda,\quad x_2=\lambda,\quad x_3=\lambda,\quad x_4=0,\quad x_5=0 \)

Eso quieres decir que el subespacio vectorial asociado a la variedad proyectiva está generado por el vector \( (1,1,1,0,0). \)

Saludos.

31 Octubre, 2020, 01:49 am
Respuesta #8

Julio_fmat

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Hola, tengo dudas sobre cómo calcular las ecuaciones paramétricas y cartesianas de \( \Lambda_1+\Lambda_2 \).

 :banghead:
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01 Noviembre, 2020, 09:44 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Hola, tengo dudas sobre cómo calcular las ecuaciones paramétricas y cartesianas de \( \Lambda_1+\Lambda_2 \).

A partir de las ecuaciones implícitas de ambos subespacios:

\( \Lambda_1: x_0=x_1=x_2 \), \( \Lambda_2: x_1-x_2=x_4=x_5=0 \)

pasa a paramétricas y deduce que cada uno de ellos está generado respectivamente por:

\( \Lambda_1=\langle (0,0,0,1,0,0),(0,0,0,0,1,0),(0,0,0,0,0,1)\rangle \)
\( \Lambda_2=\langle (1,0,0,0,0,0),(0,1,1,0,0,0),(0,0,0,1,0,0)\rangle \)

Ahora la suma está generada por todos ellos de los cuales tienes que eliminar los dependientes:

\( \Lambda_1+\Lambda_2=\langle (0,0,0,1,0,0),(0,0,0,0,1,0),(0,0,0,0,0,1), (1,0,0,0,0,0),(0,1,1,0,0,0),(0,0,0,1,0,0)\rangle=\\
=\langle (0,0,0,1,0,0),(0,0,0,0,1,0),(0,0,0,0,0,1), (1,0,0,0,0,0),(0,1,1,0,0,0)\rangle \)

De ahí inmediatamente tienes las param\'etricas.

Saludos.