Autor Tema: Demostrar que existe afinidad

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23 Septiembre, 2020, 08:25 pm
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Julio_fmat

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En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) con \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \), considere el plano afín \( \pi \) que contiene a los tres puntos \( P_1=(1,0,-1,0), P_2=(0,1,0,0), P_3=(0,0,1,-2) \) y la recta \( r \) de ecuación \( r: x_1+x_3=x_2+2x_3=x_4=0. \) Decir para cuales valores de \( t\in \mathbb{K} \) existe una afinidad \( \alpha_t: \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4\to \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) tal que \( \alpha_t(H)=H' \) y \( \alpha_t (\pi)=\pi_t \), donde \( H' \) es el hiperplano dado por \( x_1=0 \) y \( \pi_t \) es el plano de ecuación \( x_1+tx_3=x_2+x_4=0 \).

"Haz de las Matemáticas tu pasión".

24 Septiembre, 2020, 10:01 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) con \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \), considere el plano afín \( \pi \) que contiene a los tres puntos \( P_1=(1,0,-1,0), P_2=(0,1,0,0), P_3=(0,0,1,-2) \) y la recta \( r \) de ecuación \( r: x_1+x_3=x_2+2x_3=x_4=0. \) Decir para cuales valores de \( t\in \mathbb{K} \) existe una afinidad \( \alpha_t: \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4\to \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) tal que \( \alpha_t(\color{red}H\color{black})=H' \) y \( \alpha_t (\pi)=\pi_t \), donde \( H' \) es el hiperplano dado por \( x_1=0 \) y \( \pi_t \) es el plano de ecuación \( x_1+tx_3=x_2+x_4=0 \).

Revisa el enunciado: no dice en ningún sitio cuál es el hiperplano \( H \), con lo cual es imposible resolverlo.

Adicionalmente define una recta \( r \) que no utiliza para nada, lo cual es sospechoso.

Saludos.

24 Septiembre, 2020, 06:56 pm
Respuesta #2

Julio_fmat

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Hola

En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) con \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \), considere el plano afín \( \pi \) que contiene a los tres puntos \( P_1=(1,0,-1,0), P_2=(0,1,0,0), P_3=(0,0,1,-2) \) y la recta \( r \) de ecuación \( r: x_1+x_3=x_2+2x_3=x_4=0. \) Decir para cuales valores de \( t\in \mathbb{K} \) existe una afinidad \( \alpha_t: \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4\to \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) tal que \( \alpha_t(\color{red}H\color{black})=H' \) y \( \alpha_t (\pi)=\pi_t \), donde \( H' \) es el hiperplano dado por \( x_1=0 \) y \( \pi_t \) es el plano de ecuación \( x_1+tx_3=x_2+x_4=0 \).

Revisa el enunciado: no dice en ningún sitio cuál es el hiperplano \( H \), con lo cual es imposible resolverlo.

Adicionalmente define una recta \( r \) que no utiliza para nada, lo cual es sospechoso.

Saludos.

Gracias Luis Fuentes, pero podemos calcular ese hiperplano \( H \). Se tiene que

\( H: x=\begin{pmatrix}0\\{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}+\begin{bmatrix}{6}&{6}&{6}\\{1}&{0}&{5}\\{1}&{2}&{1}\\{0}&{5}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1\\{\lambda_2}\\{\lambda_3}\end{pmatrix} \)

que es la ecuación paramétrica del hiperplano \( H. \)
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24 Septiembre, 2020, 07:52 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Gracias Luis Fuentes, pero podemos calcular ese hiperplano \( H \). Se tiene que

\( H: x=\begin{pmatrix}0\\{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}+\begin{bmatrix}{6}&{6}&{6}\\{1}&{0}&{5}\\{1}&{2}&{1}\\{0}&{5}&{0}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1\\{\lambda_2}\\{\lambda_3}\end{pmatrix} \)

que es la ecuación paramétrica del hiperplano \( H. \)

¿Pero de dónde te has sacado esos datos? ¿Esas ecuaciones? El enunciado no da datos sobre ningún hiperplano llamado \( H \).

REVISA EL ENUNCIADO QUE HAS ESCRITO.

Saludos.

25 Septiembre, 2020, 07:17 pm
Respuesta #4

Julio_fmat

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Ok, lo revise y se tiene que \( H=L(P_0,\left<{(P_2-P_1),(P_3-P_1),v_3}\right>). \) ¿Esta bien?
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25 Septiembre, 2020, 09:50 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Ok, lo revise y se tiene que \( H=L(P_0,\left<{(P_2-P_1),(P_3-P_1),v_3}\right>). \) ¿Esta bien?

Pues no se... no dice en ningún sitio que es \( v_3 \). Por otra parte no tiene sentido que me preguntes si está bien o está mal.

Creo que no estás entendiendo lo que te digo: falta un dato. Falta que el enunciado diga cuál es el hiperplano \( H \). Cualquier hiperplano que fije "estará bien" como dato... ¿Comprendes?.

Saludos.

25 Septiembre, 2020, 10:32 pm
Respuesta #6

Julio_fmat

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Ok, lo revise y se tiene que \( H=L(P_0,\left<{(P_2-P_1),(P_3-P_1),v_3}\right>). \) ¿Esta bien?

Pues no se... no dice en ningún sitio que es \( v_3 \). Por otra parte no tiene sentido que me preguntes si está bien o está mal.

Creo que no estás entendiendo lo que te digo: falta un dato. Falta que el enunciado diga cuál es el hiperplano \( H \). Cualquier hiperplano que fije "estará bien" como dato... ¿Comprendes?.

Saludos.

Gracias el_manco, y si suponemos que cualquier hiperplano sirve, ¿como quedaria la solucion?
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30 Septiembre, 2020, 10:45 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Gracias el_manco, y si suponemos que cualquier hiperplano sirve, ¿como quedaria la solucion?

En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) una referencia afín está determinada por cinco puntos que no yacen en un hiperplano.

Por otra parte siempre puede definirse una afinidad que lleve una referencia en otra.

Buscamos una que cumpla \( \alpha(H)=H',\quad \alpha(\pi)=\pi'. \)

Distinguimos dos casos:

- Si \( dim(H'\cap \pi')=1 \) (puedes ver que esto ocurre cuando \( t\neq 0 \)), entonces para que exista la afinidad también debería de ocurrir que \( dim(H\cap \pi)=1 \). En ese caso para definirla basta tomar:

\( P_1,P_2\in H\cap \pi \), \( P_3\in \pi \) (de manera que \( P_1,P_2,P_3 \) no son colineales) y \( P_4,P_5\in H \) de forma que \( \{P_1,P_2,P_3,P_4,P_5\} \) son una referencia.

Análogamente \( P_1',P_2'\in H'\cap \pi' \), \( P_3'\in \pi \) (de manera que \( P_1',P_2',P_3' \) no son colineales) y \( P_4',P_5'\in H' \) de forma que \( \{P_1',P_2',P_3',P_4',P_5'\} \) son una referencia.

La afinidad existe llevando \( \alpha(P_i)=P_i' \).

- Si \( dim(H'\cap \pi')=2 \) (puedes ver que esto ocurre cuando \( t=0 \)), es decir \( \pi'\subset H' \), entonces para que exista la afinidad también debería de ocurrir que \( dim(H\cap \pi)=2 \). En ese caso para definirla basta tomar:

\( P_1,P_2,P_3\in \pi \),  (\( P_1,P_2,P_3 \) no colineales) y \( P_4\in H,P_4\not\in \pi \) y un quinto punto \( P_5\not\in H \) de forma que \( \{P_1,P_2,P_3,P_4,P_5\} \) son una referencia.

Análogamente \( P_1',P_2',P_3'\in \pi' \),  (\( P_1',P_2',P_3' \) no colineales) y \( P_4'\in H',P_4'\not\in \pi' \) y un quinto punto \( P_5'\not\in H' \) de forma que \( \{P_1',P_2',P_3',P_4',P_5'\} \) son una referencia.

La afinidad existe llevando \( \alpha(P_i)=P_i' \).

Saludos.