Autor Tema: Demostración del teorema de Ptolomeo

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04 Agosto, 2020, 09:14 pm
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robinlambada

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Hola.
Me ha gustado mucho esta forma ( la del enlace) de demostrar el teorema de Ptolomeo por lo original del planteamiento, "en todo cuadrilátero cíclico, la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales".

  Además de ver fácilmente que de este se deduce el teorema de Pitagoras.

  Este es el enlace:


Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

04 Agosto, 2020, 11:30 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Os dejo también este viíeo donde se deduce de forma fácil el teorema de Ptolomeo y como a partir de este se deducen las formulas del seno y coseno del ángulo suma.


Saludos.
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05 Agosto, 2020, 12:16 am
Respuesta #2

geómetracat

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Magnífico vídeo (el primero que pusiste, el segundo no lo he visto).  :aplauso: Gracias por compartir.

Es una muy buena introducción a las inversiones en geometría.
Lo único que me faltó es que hablara de adónde va el centro del círculo de inversión.
Spoiler
La idea es que puedes ver el plano como una esfera menos un punto, que se puede pensar como un "punto del infinito" al que puedes llegar por cualquier dirección. La gracia de verlo así es que una línea recta en el plano es lo mismo que un círculo en la esfera que pasa por el punto del infinito.
El centro del círculo de inversión va al punto del infinito cuando inviertes (y viceversa). Visto así, la inversión manda círculos en la esfera a otros círculos en la esfera, de manera que todo queda mucho más simétrico (no hay que distinguir entre círculos y rectas).
[cerrar]
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Agosto, 2020, 01:15 am
Respuesta #3

robinlambada

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Magnífico vídeo (el primero que pusiste, el segundo no lo he visto).  :aplauso: Gracias por compartir.

Es una muy buena introducción a las inversiones en geometría.
Lo único que me faltó es que hablara de adónde va el centro del círculo de inversión.
Spoiler
La idea es que puedes ver el plano como una esfera menos un punto, que se puede pensar como un "punto del infinito" al que puedes llegar por cualquier dirección. La gracia de verlo así es que una línea recta en el plano es lo mismo que un círculo en la esfera que pasa por el punto del infinito.
El centro del círculo de inversión va al punto del infinito cuando inviertes (y viceversa). Visto así, la inversión manda círculos en la esfera a otros círculos en la esfera, de manera que todo queda mucho más simétrico (no hay que distinguir entre círculos y rectas).
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Es lo primero que veo de las inversiones en geometría, no sabia del tema antes,  parece un tema interesante, si me puedes recomendar unos buenos apuntes sobre el tema te lo agradezco.

Saludos.
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05 Agosto, 2020, 09:42 am
Respuesta #4

geómetracat

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Pues no sabría decirte. Ya no me acuerdo de dónde aprendí estas cosas, y de todas formas no creo que fuera en el contexto de geometría sintética (en realidad yo de geometría sintética sé bastante poco). Al fin y al cabo las inversiones son un caso particular de transformación de Möbius, que tiene mucho que ver con análisis complejo, y con geometría hiperbólica, y yo probablemente lo ví primero en alguno de esos contextos.

Buscando por internet he encontrado este pequeño artículo que a primera vista parece estar bastante bien:
http://mat.uab.es/~agusti/geoinvcas.pdf
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Agosto, 2020, 09:45 am
Respuesta #5

Quema

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Mi unica duda en el primer video, es si puede trazar un circulo por los cuatro puntos, no se si es evidente.

05 Agosto, 2020, 10:12 am
Respuesta #6

geómetracat

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Mi unica duda en el primer video, es si puede trazar un circulo por los cuatro puntos, no se si es evidente.

Forma parte de las hipótesis. "Cuadrilátero cíclico" = "cuadrilatero que tiene sus cuatro vértices sobre una misma circunferencia".
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Agosto, 2020, 04:09 pm
Respuesta #7

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Pero, eso incluye cualquier cuadrilátero, o la demostración de Pitágoras por éste teorema es solamente para ese tipo de cuadriláteros.

05 Agosto, 2020, 05:00 pm
Respuesta #8

geómetracat

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No, no incluye cualquier cuadrilátero. Como una circunferencia viene determinada por tres puntos no alineados, es fácil dar ejemplos de cuadriláteros que no son cíclicos.

Ahora bien, para demostrar el teorema de Pitágoras al "juntar" los dos triángulos rectángulos obtienes un rectángulo, y los rectángulos sí que son siempre cíclicos, porque el punto de corte de las diagonales dista lo mismo de los cuatro vértices, de manera que los cuatro vértices están sobre un círculo de centro el punto de corte de las diagonales.
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06 Agosto, 2020, 12:02 am
Respuesta #9

robinlambada

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Pues no sabría decirte. Ya no me acuerdo de dónde aprendí estas cosas, y de todas formas no creo que fuera en el contexto de geometría sintética (en realidad yo de geometría sintética sé bastante poco). Al fin y al cabo las inversiones son un caso particular de transformación de Möbius, que tiene mucho que ver con análisis complejo, y con geometría hiperbólica, y yo probablemente lo ví primero en alguno de esos contextos.

Buscando por internet he encontrado este pequeño artículo que a primera vista parece estar bastante bien:
http://mat.uab.es/~agusti/geoinvcas.pdf
Gracias, parecen interesantes, muchas gracias.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

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