Hola, tengo el siguiente problema :
Dado un juego bipersonal finito de suma cero cualquiera \( G=\left\{{S_{1},S_{2};u_{1},u_{2}}\right\}, \) dicho conjunto tiene un valor. Es decir, existe un \( v \in R \) tal que \( v_{1}=v_{2}=v, \)siendo \( v_{1} \) y \( v_{2} \) los valores maximín y minimax. Es decir, demostrar que \( v_{1}=v_{2}=v \).
Pará la demostración tengo lo siguiente:
Por ser un juego finito, existe un Equilibrio de Nash en \( G \) (para esto existe un teorema ya demostrado). Sea \( (\sigma_{1}^*,\sigma_{2}^*) \) uno de tales equilibrios. Por definición de Equilibrio de Nash, se cumplen las afirmaciones siguientes:
\( U_{1}(\sigma_{1}^*,\sigma_{2}^*)=\sigma_{1}^*A_{1}\sigma_{2}^{*t} =máx_{\sigma_{1} \in \Delta(S_{1})}\left\{{\sigma_{1}A_{1}\sigma_{2}^{*t} }\right\} \)
\( U_{2} (\sigma_{1}^*, \sigma_{2}^*)=\sigma_{1}^*A_{2}\sigma_{2}^{*t} =máx_{\sigma_{2} \in \Delta(S_{2})}\left\{{\sigma_{1}^*A_{2}\sigma_{2}^t}\right\} \)
\( \Delta(S_{i}) \) es el conjunto de estrategias mixtas del jugador \( i \), indicando cor ello que el conjunto de estrategias mixtas de un jugador está formado por todas las loterías sobre \( S_{i} \), es decir las distribuciones de probabilidad sobre \( S_{i} \).
\( \Delta(S_{i}) =\left\{{\sigma_{i} =(\sigma_{1}^1,\sigma_{2}^2,...,\sigma_{i}^k):\sigma_{i}^j\geq{0}, j=1,2,...,k. \sum_{j=1}^k{\sigma_{i} ^j}=1}\right\} \)
De la primera ecuación se deduce que:
\( U_{1}(\sigma_{1}^*,\sigma_{2}^*)=\sigma_{1}^*A_{1}\sigma_{2}^{*t} =min_{\sigma_{2} \in \Delta(S_{2})}\left\{{\sigma_{1}^*A_{1}\sigma_{2}^t}\right\} \)
Es lo que tengo, y esta en el libro de Pérez, esta en la parte cuando se empieza a ver estrategias mixtas y juegos bipersonales de suma cero, pero no explica la demostración y no se si esta demostracion del libro tiene un error. Gracias de antemano por su ayuda. 🙏