[shaggy]

Hola, tengo el siguiente problema :

Dado un juego bipersonal finito de suma cero cualquiera \( G=\left\{{S_{1},S_{2};u_{1},u_{2}}\right\}, \) dicho conjunto tiene un valor. Es decir, existe un \(  v \in R  \) tal que \( v_{1}=v_{2}=v,  \)siendo \( v_{1} \) y \( v_{2} \) los valores maximín y minimax. Es decir, demostrar que  \( v_{1}=v_{2}=v \).

Pará la demostración tengo lo siguiente:

Por ser un juego finito, existe un Equilibrio de Nash en \( G \) (para esto existe un teorema ya demostrado). Sea \( (\sigma_{1}^*,\sigma_{2}^*) \) uno de tales equilibrios. Por definición de Equilibrio de Nash, se cumplen las afirmaciones siguientes:

\( U_{1}(\sigma_{1}^*,\sigma_{2}^*)=\sigma_{1}^*A_{1}\sigma_{2}^{*t} =máx_{\sigma_{1} \in \Delta(S_{1})}\left\{{\sigma_{1}A_{1}\sigma_{2}^{*t} }\right\} \)

\(  U_{2} (\sigma_{1}^*, \sigma_{2}^*)=\sigma_{1}^*A_{2}\sigma_{2}^{*t} =máx_{\sigma_{2} \in \Delta(S_{2})}\left\{{\sigma_{1}^*A_{2}\sigma_{2}^t}\right\} \)

\( \Delta(S_{i})  \) es el conjunto de estrategias mixtas del jugador \( i \), indicando cor ello que el conjunto de estrategias mixtas de un jugador está formado por todas las loterías sobre \( S_{i}  \), es decir las distribuciones de probabilidad sobre \( S_{i}  \).

\( \Delta(S_{i}) =\left\{{\sigma_{i} =(\sigma_{1}^1,\sigma_{2}^2,...,\sigma_{i}^k):\sigma_{i}^j\geq{0}, j=1,2,...,k. \sum_{j=1}^k{\sigma_{i} ^j}=1}\right\} \)



De la primera ecuación se deduce que:

\(  U_{1}(\sigma_{1}^*,\sigma_{2}^*)=\sigma_{1}^*A_{1}\sigma_{2}^{*t} =min_{\sigma_{2} \in \Delta(S_{2})}\left\{{\sigma_{1}^*A_{1}\sigma_{2}^t}\right\}     \)

Es lo que tengo, y esta en el libro de Pérez, esta en la parte cuando se empieza a ver estrategias mixtas y juegos bipersonales de suma cero, pero no explica la demostración y no se si esta demostracion del libro tiene un error. Gracias de antemano por su ayuda. 🙏

[shaggy]

El porque se deduce eso de la primera ecuación, y al parecer también de la segunda es por lo siguiente:

Sabemos que:
\( A_{2}=-A_{1} \), por ser el juego de suma cero.

\( A_{1}=(u_1(s_{1}^i,s_{2}^j)) _{i=1,...m;j=1,...n} \) y \( A_{2}=(u_2(s_{1}^i,s_{2}^j)) _{i=1,...,m;j=1,...n}=-A_{1} \)

Y además: Dada una función real cualquiera \( f(x)  \), el opuesto del máximo de \( f(x)  \) es igual al mínimo del opuesto de \( f(x)  \), es decir, \( -max f(x)=min(-f(x))  \), y análogamente, \( -min(f(x)) =max(-f(x))  \).

Asi:

\( \sigma_{1}^*A_{1}\sigma_{2}^{*t}=-\sigma_{1}^*A_{2}\sigma_{2}^{*t}=-máx_{\sigma_{2} \in \Delta(S_{2})}\left\{{\sigma_{1}^*A_{2}\sigma_{2}^{t}}\right\}=-max_{\sigma_{2} \in \Delta(S_{2})} \left\{{-\sigma_{1}^*A_{1}\sigma_{2}^{t} }\right\}=min_{\sigma_{2} \in \Delta(S_{2})} \left\{{\sigma_{1}^*A_{1}\sigma_{2}^{t}}\right\} \)

Si tienen duda de la notación, estoy a la orden para responder eso🙏, adjunto una foto de la matriz de pagos.

Por cierto, \( \sigma_{i}  \) es la estrategia mixta del jugador \( i \), y \( U_{1}(\sigma_{1}, \sigma_{2}) \) es la utilidad esperada del jugador \( 1 \)dado que el jugador \( 1 \) y \( 2 \) juegan las estrategias mixtas \( \sigma_{1} \) y \( \sigma_{2} \) respectivamente, análogamente para el jugador \( 2 \) y \( u_{1}(s_{1},s_{2}) \) es la ganancia del jugador \( 1 \) dado que el jugador \( 1 \) y \( 2 \) juegan las estrategias \( s_{1} \) y\( s_{2} \) respectivamente, análogamente para el jugador \( 2 \).