Autor Tema: Anillo de polinomios en dos variables

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17 Abril, 2020, 09:28 am
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conchivgr

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Hola.

Estudiando la finitud del numero de intersecciones entre dos variedades coprimas, tengo algun problema, sospecho que solucionando el primero, el segundo lo resuelvo tambien. Perdon si la duda es muy basica, pero si no no puedo avanzar.

Sea \( K[X,Y] \) el anillo de polinomios en dos indeterminadas \( X \) e \( Y \) sobre el cuerpo \( K \). Supongamos en nuestro caso que \( K=\mathbb{R} \).

Sea \( R(X) \) el cuerpo de funciones racionales, es decir, el cuerpo formado por fracciones de polinomios en la indeterminada \( X \), con el polinomio del denominador no nulo.

Sea \( R(X,Y) \) el cuerpo de funciones racionales formado por fracciones de polinomios en las indeterminadas \( X \) e \( Y \), con el polinomio del denominador no nulo.

En primer lugar, para probar que dos polinomios \( f,g\in{K[X,Y]} \) son coprimos, prueba que los poilnomios son coprimos en \( K(X)[Y] \).

Primero, el anillo  \( f,g\in{K[X,Y]} \) se compone de polinonios en dos indeterminadas \( X \) e \( Y \), los cuales tienen coeficientes en \( K \), y las indeterminadas se sustituyen por valores del cuerpo \( K \) para evaluar el polinonio.

Cuando veo la expresion \( K(X)[Y] \), entiendo que significa que son los polinomios en la indeterminada \( Y \), los cuales tiene coeficientes en el cuerpo \( R(X) \), es decir, los coeficientes de los polinomios son fracciones de polinomios en la indeterminada \( X \), y los valores de \( Y \) se sustituyen tambien por valores del cuerpo \( K(X) \) (fracciones de polinomios en la indeterminada \( X \)).

Es esto correcto?.

Por otro lado, como se relacionan \( R(X,Y) \) y \( K(X)[Y] \)?. Son lo mismo?.

En alguna parte del libro, en la seccion de extensiones de cuerpos y curvas planas, veo que una curva plana se puede definir como una extesion del cuerpo de funciones racionales \( R(X) \), que "introduce" una indeterminada \( Y \), es decir, si \( C \) es una curva dada por el polinomio \( f(X,Y) \).

el cuerpo de funciones racionales de la curva seria

\( K(C)=K(X)[Y]/(f) \), siendo \( (f) \) el idel del polinomio \( f \).

Entonces, el cuerpo de funciones racionales de la curva son fracciones de polinomios en las indeterminadas \( X \) e \( Y \), por eso pregunto si \( R(X,Y) \) y \( K(X)[Y] \) son lo mismo.

Sospecho que no, que la trascendencia de \( X \) y de \( Y \) marcan la diferencia, pero no estoy segura.

Besos.

17 Abril, 2020, 11:38 am
Respuesta #1

geómetracat

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Estudiando la finitud del numero de intersecciones entre dos variedades coprimas, tengo algun problema, sospecho que solucionando el primero, el segundo lo resuelvo tambien. Perdon si la duda es muy basica, pero si no no puedo avanzar.

Nunca pidas perdón por preguntar dudas, preguntar es lo mejor que hay para aprender.  ;)

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En primer lugar, para probar que dos polinomios \( f,g\in{K[X,Y]} \) son coprimos, prueba que los poilnomios son coprimos en \( K(X)[Y] \).

\( K[X,Y] \) se puede identificar con un subanillo de \( K(X)[Y] \), el subanillo de los elementos en que todos los coeficientes son polinomios en \( X \) (es decir, elementos de \( K(X) \) con denominador \( 1 \)). Si dos polinomios de \( K[X,Y] \) son coprimos en el anillo grande \( K(X)[Y] \) (es decir, no tienen factores comunes ahí) también lo serán en el subanillo \( K[X,Y] \). Pensado de otra forma, si tuvieran un factor común en \( K[X,Y] \) esto también sería un factor común en \( K(X)[Y] \).

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Primero, el anillo  \( f,g\in{K[X,Y]} \) se compone de polinonios en dos indeterminadas \( X \) e \( Y \), los cuales tienen coeficientes en \( K \), y las indeterminadas se sustituyen por valores del cuerpo \( K \) para evaluar el polinonio.

Cuando veo la expresion \( K(X)[Y] \), entiendo que significa que son los polinomios en la indeterminada \( Y \), los cuales tiene coeficientes en el cuerpo \( R(X) \), es decir, los coeficientes de los polinomios son fracciones de polinomios en la indeterminada \( X \), y los valores de \( Y \) se sustituyen tambien por valores del cuerpo \( K(X) \) (fracciones de polinomios en la indeterminada \( X \)).

Es esto correcto?

Todo correcto. Aunque mejor no pienses mucho en términos de sustituir elementos. De hecho, si estás haciendo geometría, raramente querrás sustituir \( Y \) por un elemento de \( K(X) \). Lo más habitual será sustituir tanto \( X \) como \( Y \) por elementos de \( K \) (evaluar en un punto del plano).

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Por otro lado, como se relacionan \( R(X,Y) \) y \( K(X)[Y] \)?. Son lo mismo?.

No son lo mismo. Por ejemplo, \( 1/Y \in R(X,Y) \) pero \( 1/Y \notin K(X)[Y] \). La relación entre ellos es que \( K(X)[Y] \) es un subanillo de \( R(X,Y) \). De hecho, los elementos de \( R(X,Y) \) que pertenecen a \( K(X)[Y] \) son aquellos cuyo denominador (suponiendo que numerador y denominador sean coprimos) es un polinomio en \( X \) (el denominador no contiene \( Y \)). Para poner de un elemento de \( K(X)[Y] \) en forma de fracción de polinomios solo tienes que poner denominador común en todos los coeficientes.

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En alguna parte del libro, en la seccion de extensiones de cuerpos y curvas planas, veo que una curva plana se puede definir como una extesion del cuerpo de funciones racionales \( R(X) \), que "introduce" una indeterminada \( Y \), es decir, si \( C \) es una curva dada por el polinomio \( f(X,Y) \).

el cuerpo de funciones racionales de la curva seria

\( K(C)=K(X)[Y]/(f) \), siendo \( (f) \) el idel del polinomio \( f \).

Por curiosidad, ¿qué libro usas?
En efecto es como dice el libro. Si tienes una curva plana \( C \) definida por la ecuación \( f(x,y)=0 \), su anillo de coordenadas es \( K[X,Y]/(f) \). El anillo de funciones racionales de la curva es el cuerpo de fracciones de este anillo. Así que lo único que hay que comprobar es que \( K(X)[Y]/(f) \) es un cuerpo, pues es claro que está contenido en el cuerpo de fracciones. Pero \( K(X)[Y] \) es un anillo de polinomios de una variable con coeficientes en un cuerpo, de forma que basta ver que \( (f) \) es un ideal maximal, o lo que es lo mismo, que \( f \) es irreducible en \( K(X)[Y] \). Pero por el lema de Gauss, si \( f \) es irreducible en \( K[X,Y] \) también lo es en \( K(X)[Y] \) y ya estamos.

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Entonces, el cuerpo de funciones racionales de la curva son fracciones de polinomios en las indeterminadas \( X \) e \( Y \), por eso pregunto si \( R(X,Y) \) y \( K(X)[Y] \) son lo mismo.

Sospecho que no, que la trascendencia de \( X \) y de \( Y \) marcan la diferencia, pero no estoy segura.

En efecto, como ya he explicado antes no son lo mismo. De hecho \( K(X)[Y] \) no es un cuerpo (pues \( Y \) no es invertible), mientras que \( R(X,Y) \) sí lo es.

Desde el punto de vista geométrico también es interesante notar la diferencia. No sé si has visto ya que la dimensión de una variedad es la dimensión de trascendencia de su cuerpo de funciones racionales sobre el cuerpo base. Usando esto, podemos ver que \( K(X)[Y]/(f) \) es en efecto el cuerpo de funciones racionales de una curva, pues su dimensión de trascendencia sobre \( K \) es \( 1 \) (en efecto, \( X \) es trascendente, pero \( Y \) no es trascendente sobre \( K(X) \) en este cuerpo, ya que \( f(X,Y)=0 \) te da una relación algebraica). Por tanto, esta variedad tiene dimensión uno, como esperamos en una curva.

Por otro lado, \( R(X,Y) \) es el cuerpo de fracciones de \( K[X,Y] \), que es el anillo de coordenadas del plano. Así, \( R(X,Y) \) es el cuerpo de funciones racionales del plano. Como cuerpo claramente tiene dimensión de trascendencia \( 2 \) sobre \( K \), lo que nos dice que la dimensión del plano es dos, que es lo que esperamos.

Cualquier duda que te haya quedado pregunta de nuevo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

17 Abril, 2020, 04:26 pm
Respuesta #2

conchivgr

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Hola.

Muchisimas gracias, claro, cristalino. Ahora he aprendido bien todos los conceptos, mil gracias.

Solo una pequenia duda, que me ha dado rabia no entender, porque todo lo demas me ha quedado claro.

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Para poner de un elemento de \( K(X)[Y] \) en forma de fracción de polinomios solo tienes que poner denominador común en todos los coeficientes.

Esto no lo entiendo. En el anillo \( K(X)[Y] \) no aparece \( Y \) en el denominador, solo polinomios en \( X \). A que te refieres?.

Muchas gracias de nuevo.

Besos.

17 Abril, 2020, 04:56 pm
Respuesta #3

geómetracat

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De nada.  :D

Sobre lo que preguntas, lo que quería decir es lo siguiente. En principio un elemento de \( K(X)[Y] \) es de la forma \( \frac{f_0(X)}{g_0(X)} + \frac{f_1(X)}{g_1(X)} Y + \dots + \frac{f_n(X)}{g_n(X)}Y^n \). En cambio los elementos de \( R(X,Y) \) son de la forma \( \frac{f(X,Y)}{g(X,Y)} \).
Lo que quería decir es que para pasar de una forma a la otra pones denominador común y sumas las fracciones, así:
\( \frac{f_0(X)g_1(X)\dots g_n(X) + \dots + g_0(X)\dots g_{n-1}(X)f_n(X)Y^n}{g_0(X)\dots g_n(X)} \), de manera que puedes identificar los elementos de \( K(X)[Y] \) con los elementos de \( R(X,Y) \) cuyo denominador es un polinomio en \( X \).

Y viceversa, si tienes un elemento de \( R(X,Y) \) cuyo denominador no tenga \( X \), \( \frac{f(X,Y)}{g(X)} \) puedes agrupar por potencias de \( Y \) en \( f(X,Y) \) y poner \( f(X,Y) = f_0(X) + f_1(X)Y + \dots f_n(X)Y^n \), de manera que:
\( \frac{f(X,Y)}{g(X)} = \frac{f_0(X)}{g(X)} + \frac{f_1(X)}{g(X)}Y + \dots + \frac{f_n(X)}{g(X)} Y^n  \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

17 Abril, 2020, 07:42 pm
Respuesta #4

conchivgr

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Hola.
Comprendido,  muchas gracias.
Besos.