Autor Tema: Geodésicas y superficies de revolución.

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08 Abril, 2020, 10:41 pm
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Gray

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Buenas, ¿alguien me podría echar una mano con este ejercicio de geometría riemanniana?
Adjunto una foto con la pregunta original en inglés por si no se entiende.
¡Muchas gracias!


Denotamos con \( (u,v) \) las coordenadas cartesianas de \( R^2 \). Muestra que la función \( φ:U\subset{R^2}\longrightarrow{R^3} \) dada por \( φ(u,v) = (f(v)cos(u),f(v)sen(u), g(v)) \) con

\( U=\left\{{(u,v)\in{R^2}:u_0 < u < u_1; v_0 <v < v_1}\right\} \)

donde \( f \) y \( g \) son funciones diferenciables con \( f`(v)^2 + g`(v)^2\neq{0} \) y \( f(v)\neq{0} \) es una inmesión (\( φ \)).

La imagen \( φ(U) \) es el superficie generado por la rotación de la curva \( (f(v), g(v)) \) sobre el eje z y se llama superficie de revolución \( S \). La imagen por \( φ \) de la curva \( u = constante \) y \( v = constante \) se llaman respectivamente, meridianos y paralelos de \( S \).


\( a) \) muestra que la métrica inducida en las coordenadas \( (u,v) \) está dada por
\( g11 = f^2 \), \( g12 = 0 \), \( g22 =f`^2 + g`^2 \).


\( b) \) Muestra que la ecuación local de una geodésica \( ɣ \) es:

\( \frac{d^2u}{dt^2} + \frac{2f\cdot{f´}}{f^2}\frac{du}{dt}\frac{dv}{dt} = 0 \)

\( \frac{d^2v}{dt^2} - \frac{f\cdot{f´}}{(f´)^2 + (g´)^2}(\displaystyle\frac{du}{dt})^2 + \frac{f´\cdot{f´´} + g´\cdot{g´´}}{(f´)^2 + (g´)^2}(\displaystyle\frac{dv}{dt})^2 = 0 \)


\( c) \) Obtenga el significado geométrico de las ecuaciones anteriores: la segunda ecuación es, excepto para meridianos y paralelos, equivalente al hecho de que la "energía" \( (\left |{ɣ´(t)}\right |)^2 \) de una geodésica es constante a lo largo de \( ɣ \); la primera ecuación significa que si \( β(t) \) es el ángulo orientado, \( β(t)<π \), de \( ɣ \) con un paralelo intersecando \( ɣ \) en \( ɣ(t) \), entonces:

\( r\cdot{cosβ} = constante \)

donde \( r \) es el radio del paralelo \( P \) (La ecuación anterior se llama Relación de Clairaut).


\( d) \) Usa la Relación de Clairaut para mostrar que una geodésica del paraboloide:
\( (f(v) = v, g(v) = v^2, 0 < v < ∞, -ε < u < 2π + ε) \)
no es un meridiano e interseca con él mismo un número infinito de veces.

Muchísimas gracias de nuevo.

09 Abril, 2020, 07:51 am
Respuesta #1

Gustavo

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Hola. La métrica inducida en la superficie es la que obtienes de \( \mathbf R^3 \) con la inmersión, o sea, la métrica definida por \( g_p(X,Y)=\langle d_p\varphi(X),d_p\varphi(Y)\rangle \). Por ejemplo,

\( g_{11}=g(\frac{\partial}{\partial u},\frac{\partial}{\partial u})=\langle \varphi_u,\varphi_u \rangle = \langle (-f(v)\sen(u),f(v)\cos(u),0),(-f(v)\sen(u),f(v)\cos(u),0) \rangle =(f(v))^2=f^2,  \)

y así con los demás. Para la segunda parte usa la métrica para calcular los símbolos \( \Gamma_{ij}^k \) como en el otro ejercicio.

Para la tercera empieza escribiendo \( |\gamma'|^2=g(\gamma',\gamma')=(u')^2f^2+(v')^2((f')^2+(g')^2) \). Si quieres \( |\gamma'|^2 \) constante, entonces \( \frac{d}{dt}|\gamma'|^2=0 \). Hay que hacer unas cuentas y usar la primera ecuación para mostrar que esa ecuación es equivalente a la segunda.

Avanza con los problemas y muéstranos exactamente dónde te quedas para poder ayudarte.

10 Abril, 2020, 02:20 am
Respuesta #2

Gray

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Buenas, he estado haciendolo ahora y pues para los dos primeros apartados no he tenido problemas.

Para el \( c) \),

al derivar la expresión que me has indicado he obtenido:

\( 2u'u''f^2 + (u')^22ff'\frac{dv}{dt} + 2v'v''((f')^2 + (g')^2) + (v')^2(2f'f'' + 2g'g'')\frac{dv}{dt} \)

que no sé como seguir para anularla.

Luego, tampoco sé cómo llegar hasta la relación de Clairaut de la segunda parte del c)


Para el \( d) \), ¿me podría dar alguna pista?

Muchas gracias.



Hola. La métrica inducida en la superficie es la que obtienes de \( \mathbf R^3 \) con la inmersión, o sea, la métrica definida por \( g_p(X,Y)=\langle d_p\varphi(X),d_p\varphi(Y)\rangle \). Por ejemplo,

\( g_{11}=g(\frac{\partial}{\partial u},\frac{\partial}{\partial u})=\langle \varphi_u,\varphi_u \rangle = \langle (-f(v)\sen(u),f(v)\cos(u),0),(-f(v)\sen(u),f(v)\cos(u),0) \rangle =(f(v))^2=f^2,  \)

y así con los demás. Para la segunda parte usa la métrica para calcular los símbolos \( \Gamma_{ij}^k \) como en el otro ejercicio.

Para la tercera empieza escribiendo \( |\gamma'|^2=g(\gamma',\gamma')=(u')^2f^2+(v')^2((f')^2+(g')^2) \). Si quieres \( |\gamma'|^2 \) constante, entonces \( \frac{d}{dt}|\gamma'|^2=0 \). Hay que hacer unas cuentas y usar la primera ecuación para mostrar que esa ecuación es equivalente a la segunda.

Avanza con los problemas y muéstranos exactamente dónde te quedas para poder ayudarte.

12 Abril, 2020, 01:15 am
Respuesta #3

Gustavo

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Hola.

Para el \( c) \),

al derivar la expresión que me has indicado he obtenido:

\( 2u'u''f^2 + (u')^22ff'\frac{dv}{dt} + 2v'v''((f')^2 + (g')^2) + (v')^2(2f'f'' + 2g'g'')\frac{dv}{dt} \)

Bien. Multiplicando la segunda ecuación diferencial (dada por el ejercicio) por \( (f')^2+(g')^2 \) obtienes

\(  ((f')^2+(g')^2)v''-ff'(u')^2 +(f'f''+g'g'')(v')^2 =0 \)

Obviando el 2 que multiplica tu expresión y reemplazando usando lo anterior

\( u'u''f^2+(u')^2ff'v'+v'v''((f')^2+(g')^2)+v'(-((f')^2+(g')^2)v''+ff'(u')^2)  \)

Simplificando y usando la primera ecuación diferencial dada llegas a que de 0.

Luego, tampoco sé cómo llegar hasta la relación de Clairaut de la segunda parte del c)

Prueba que el radio \( r \) de las paralelas es igual a \( f(v) \) (o sea, que la distancia al eje z de las curvas horizontales es eso). Luego muestra que \( f\cos \beta=u'f^2 \). Deriva esa expresión y usa la primera ecuación diferencial dada para mostrar que se anula, por lo que \( f\cos \beta  \) es constante.

Para el \( d) \), ¿me podría dar alguna pista?

Mira por acá.

12 Abril, 2020, 02:30 am
Respuesta #4

Gray

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Hola, el documento que me has pasado, ¿forma parte de un pdf o lo has escrito tú?

En el primer caso, ¿me podría pasar el pdf para que pueda consultarlo cuando tenga dudas?

Mañana cuando me levante me pongo a ello y te digo.

¡Muchas gracias por todo!

Hola.

Para el \( c) \),

al derivar la expresión que me has indicado he obtenido:

\( 2u'u''f^2 + (u')^22ff'\frac{dv}{dt} + 2v'v''((f')^2 + (g')^2) + (v')^2(2f'f'' + 2g'g'')\frac{dv}{dt} \)

Bien. Multiplicando la segunda ecuación diferencial (dada por el ejercicio) por \( (f')^2+(g')^2 \) obtienes

\(  ((f')^2+(g')^2)v''-ff'(u')^2 +(f'f''+g'g'')(v')^2 =0 \)

Obviando el 2 que multiplica tu expresión y reemplazando usando lo anterior

\( u'u''f^2+(u')^2ff'v'+v'v''((f')^2+(g')^2)+v'(-((f')^2+(g')^2)v''+ff'(u')^2)  \)

Simplificando y usando la primera ecuación diferencial dada llegas a que de 0.

Luego, tampoco sé cómo llegar hasta la relación de Clairaut de la segunda parte del c)

Prueba que el radio \( r \) de las paralelas es igual a \( f(v) \) (o sea, que la distancia al eje z de las curvas horizontales es eso). Luego muestra que \( f\cos \beta=u'f^2 \). Deriva esa expresión y usa la primera ecuación diferencial dada para mostrar que se anula, por lo que \( f\cos \beta  \) es constante.

Para el \( d) \), ¿me podría dar alguna pista?

Mira por acá.

12 Abril, 2020, 05:08 am
Respuesta #5

Gustavo

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No hay de qué.

Hola, el documento que me has pasado, ¿forma parte de un pdf o lo has escrito tú?

Ninguna de las dos. :D Ese documento está en esta página de un curso de geometría y parece ser la única solución que escribieron de todos los problemas asignados.

15 Abril, 2020, 12:39 pm
Respuesta #6

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Buenos días, ¿me podría especificar un poco más sobre la relación de Clarault del apartado\( c) \)?

Muchas gracias.

No hay de qué.

Hola, el documento que me has pasado, ¿forma parte de un pdf o lo has escrito tú?

Ninguna de las dos. :D Ese documento está en esta página de un curso de geometría y parece ser la única solución que escribieron de todos los problemas asignados.

17 Abril, 2020, 12:40 am
Respuesta #7

Gustavo

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Hola. Para encontrar r lo que debemos hacer es calcular la distancia entre el eje z y puntos de la forma \( \varphi(u,v) = (f(v)\cos(u),f(v)\sen(u), g(v)) \). Piensa que basta concentrase en el plano \( z=g(v) \) y hallar la distancia al origen ahí.

Las paralelas en las coordenadas u,v son curvas de la forma \( \alpha(t)=(a(t),c) \), con c es una constante. Entonces \( \alpha'=(a',0) \) y hay que hallar \( \cos(\beta)=\dfrac{g(\gamma',\alpha')}{|\gamma'|\cdot |\alpha'|} \).

17 Abril, 2020, 01:12 pm
Respuesta #8

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¡Muchas gracias!

Hola. Para encontrar r lo que debemos hacer es calcular la distancia entre el eje z y puntos de la forma \( \varphi(u,v) = (f(v)\cos(u),f(v)\sen(u), g(v)) \). Piensa que basta concentrase en el plano \( z=g(v) \) y hallar la distancia al origen ahí.

Las paralelas en las coordenadas u,v son curvas de la forma \( \alpha(t)=(a(t),c) \), con c es una constante. Entonces \( \alpha'=(a',0) \) y hay que hallar \( \cos(\beta)=\dfrac{g(\gamma',\alpha')}{|\gamma'|\cdot |\alpha'|} \).