Autor Tema: Problema de geometría riemanniana

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08 Abril, 2020, 07:03 pm
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Gray

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Si alguien me pudiera echar una ayuda aquí, le agradecería un montón. Adjunto una foto del problema original, que está en inglés por si no se entiende bien algo. ¡Muchas gracias!

Consideramos el semiplano superior \( \mathbb{R^2_+} \) con la métrica dada por \( g11=g22 \)=\( 1/y^2 \), g12=0 métrica en la geometría no euclideana de Lobatchevski.

a)Mostrar que los símbolos de Christoffel de las conexiones rimannianas  son
\( Γ^111 \)= \( Γ^212 \) = \( Γ^122 \) = 0
\( Γ^211 \) = 1/y  \( Γ^112 \) = \( Γ^222 \) =\( -1/y \)

b)Sea \( ν_0 \) = \( (0,1) \) un vector en el punto de \( \mathbb{R^2_+} \) (\( ν_0 \) es un vector unitario en el eje y con origen en \( (0,1) \)).
Sea \( v(t) \) el transporte paralelo de \( ν_0 \) a lo largo de la curva \( x = t, y = 1 \).
Mostrar que \( v(t) \) forma un ángulo \( t \) con la dirección del eje \( y \), medido en el sentido de las agujas de reloj.

Pista: el campo \( v(t) = (a(t), b(t)) \) satisface el sistema que define un campo paralelo y el cual, en este caso, se simplifica en

\( \frac{da}{dt} \) + \( Γ^112 \)x\( b \) = 0
\( \frac{db}{dt} \) + \( Γ^211 \)x\( a \) = 0

cogiendo a = \( cosθ(t) \), b = \( senθ(t) \) y notando que a lo largo de la curva dada tenemos \( y = 1 \), obtenemos de la ecuación de arriba que \( \frac{dθ}{dt} \) = -1.

v(0) = \( ν_0 \) implica que\( θ(t) \) = \( π/2 - t \)

09 Abril, 2020, 07:44 am
Respuesta #1

Gustavo

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Hola. Llama \( e_1:=\partial/\partial x \) y \( e_2:=\partial/\partial y \). Recuerda \( [e_1,e_1]=[e_1,e_2]=[e_2,e_2]=0. \)

Para la primera parte del ejercicio usa la fórmula de Koszul. Por ejemplo, para calcular \( \Gamma_{11}^2 \), nota que usando la fórmula te queda \( g(\nabla_{e_1}e_1,e_2)=1/y^3 \), pero por otro lado \( g(\nabla_{e_1}e_1,e_2)=\Gamma_{11}^2g(e_2,e_2)=\Gamma_{11}^2(1/y^2) \), de donde \( \Gamma_{11}^2=1/y \). Así con los demas.

Para la segunda parte usa la información de la primera parte para simplificar el sistema de ecuaciones diferenciales que definen el transporte paralelo (que seguro viste antes). Luego te dicen que tomes funciones de la forma \( \cos(\theta(t)) \) y \( \sen(\theta(t)) \), y las uses en las ecuaciones para encontrar la función \( \theta(t) \).

Para que te queden bien posicionados los índices como en \( \Gamma_{11}^2 \) tienes que escribirlos dentro de corchetes así \Gamma_{11}^2.