Autor Tema: Homomorfismo

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05 Abril, 2020, 06:54 pm
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Valthazor

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Buenas, ¿como puedo dar una aplicación \( g \) continua que también sea inyectiva y cuyo homomorfismo inducido en los
grupos de homotopía no sea inyectivo?

05 Abril, 2020, 07:11 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Te basta con considerar una función inyectiva continua \( f:X \to Y \) con \( \pi_1(X) \neq 0 \) y \( \pi_1(Y)=0 \).

Por ejemplo, puedes tomar la inclusión de \( S^1 \) en \( \Bbb R^2 \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Abril, 2020, 07:23 pm
Respuesta #2

Valthazor

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Te basta con considerar una función inyectiva continua \( f:X \to Y \) con \( \pi_1(X) \neq 0 \) y \( \pi_1(Y)=0 \).

Por ejemplo, puedes tomar la inclusión de \( S^1 \) en \( \Bbb R^2 \).

El problema es que no lo veo, o sea no entiendo esta parte del enunciado: ''homomorfismo inducido en los grupos de homotopía''

05 Abril, 2020, 08:38 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Eso es algo que deberías haber visto en la teoría, si no sabes qué es es imposible que sepas hacer el ejercicio.

Si tienes una aplicación continua entre dos espacios topológicos, \( f: X \to Y \), puedes definir un homomorfismo entre los grupos fundamentales \( f_*: \pi_1(X,x_0) \to \pi_1(Y,y_0) \) (aquí \( x_0 \in X \) es un punto base cualquiera e \( y_0:=f(x_0) \) punto base en \( Y \)). Este morfismo se define de la siguiente manera: dado \( [\beta] \in \pi_1(X,x_0) \) defines \( f_*([\beta]) = [f \circ \beta] \) (fíjate que si \( \beta \) es un loop en \( X \) con punto base \( x_0 \) entonces \( f \circ \beta \) es un loop en \( Y \) con punto base \( f(x_0)=y_0 \)). Hay que comprobar que esta aplicación está bien definida (no depende del representante de la clase de homotopía escogido) y que es un morfismo de grupos, cosa que si no has visto podrás encontrar en cualquier libro de topología algebraica.

Lo que se te pide es que encuentres una aplicación inyectiva y continua \( f \) tal que el morfismo inducido \( f_* \) no sea inyectivo. Claramente, si tienes que \( f_*:\pi_1(X,x_0) \to \pi_1(Y,y_0) \) con \( \pi_1(X,x_0) \neq 0 \) pero \( \pi_1(Y,y_0)=0 \) el morfismo no puede ser inyectivo, pues \( Ker(f_*)=\pi_1(X,x_0) \neq 0 \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)