Autor Tema: Problema de Longitud en Montaña

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27 Febrero, 2020, 01:45 pm
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hfarias

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Estimados del foro,el problema dice lo siguiente: Entre ambas montañas se ha colocado un hilo para realizar mediciones formandose un triángulo.
Calcular la altura de la montaña mas alta,de acuerdo con los datos que muestra la figura.





Mi duda es debo calcularlo empleando el teorema del coseno o del seno.

Ya que no me queda claro  el hilo donde  yo he puesto los punto CD ( que el dibujo original no los trae ) el cual me divide al triángulo en dos.

Si hago girar el triángulo 90º en sentido de las agujas del reloj,tengo uno ( BCD ) que es isosceles y el otro (ADC) que es oblicuángulo.

 La medida que se busca es h2 = h1 + n , y para mi la longitud BD = 28 m,tampoco me queda claro porque no se si es el lado BA.

Les pido me asesoren y yo lo realizo una vez que me pongan en claro mis dudas.

Gracias.

27 Febrero, 2020, 02:03 pm
Respuesta #1

sugata

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27 Febrero, 2020, 03:07 pm
Respuesta #2

hfarias

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Pérdon sugata por apurado olvide las mismas ahi las envio,son dos archivos.

27 Febrero, 2020, 05:50 pm
Respuesta #3

Abdulai

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La imagen con las montañas desorienta porque el segmento CD debe ser horizontal, tal como está en la 2da.

Los pasos son:

1 - Calculás \( a \;\;\longrightarrow\;\;  a\sin 60° = h_1 \;\;\longrightarrow\;\; a= ... \)

2 - Calculás \( b \) usando el teorema del coseno:  \( a^2+b^2-2ab\cos75° = c^2 \)
     De esa ecuación de 2do grado obtenés \( b \)

3 - Finalmente  \( h_2 =  h_1 + b\sin 15° \)

27 Febrero, 2020, 11:33 pm
Respuesta #4

hfarias

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Siguiendo con tu respuesta y aclarandome las dudas,lo hice y te envio el mismo.

Para calcular "a"

\( \displaystyle a\cdot sen60º = h_1 \) y \( \displaystyle a= \frac{15m}{0,866}= 17,32m \)

Ahora si hago\( \displaystyle a=0,866 x 15m=13m \),resultado diferente y el cual coincide con el original del apunte.

Calculo "b" por el teorema del coseno

\( \displaystyle   (28)^2 = (13)^2 + b^2 - 2 \cdot 13 \cdot b \cdot 0,2588 \)

\( \displaystyle  784=168,7 + b^2 - 6,72b   \)

\( \displaystyle 784-168,7= b^2 - 6,72b \)

\( \displaystyle 615 - b^2 + 6,72b = 0 \),reordenando los términos de la ecuación y calculando sus raíces

\( \displaystyle -b^2 + 6,72 + 615 =0   \)  y \( \displaystyle  x_1 = 28,78 ; x_2 = -21,66 \)

Ahora calculo h_2

\( \displaystyle h_2 = 15+7  = 22 m  \) que es el resultado que da el apunte.




28 Febrero, 2020, 01:15 am
Respuesta #5

Abdulai

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Siguiendo con tu respuesta y aclarandome las dudas,lo hice y te envio el mismo.

Para calcular "a"

\( \displaystyle a\cdot sen60º = h_1 \) y \( \displaystyle a= \frac{15m}{0,866}= 17,32m \)

Ese es el valor correcto seguiendo esta imagen




Citar
Ahora si hago\( \displaystyle a=0,866 x 15m=13m \),resultado diferente y el cual coincide con el original del apunte.

\( a \)  es la hipotenusa del triángulo \( BCE \) , nunca puede ser menor que el cateto \( CE \)


Citar
Calculo "b" por el teorema del coseno

\( \displaystyle   (28)^2 = (13)^2 + b^2 - 2 \cdot 13 \cdot b \cdot 0,2588 \)

\( \displaystyle  784=168,7 + b^2 - 6,72b   \)

\( \displaystyle 784-168,7= b^2 - 6,72b \)

\( \displaystyle 615 - b^2 + 6,72b = 0 \),reordenando los términos de la ecuación y calculando sus raíces

\( \displaystyle -b^2 + 6,72b + 615 =0   \)  y \( \displaystyle  x_1 = 28,78 ; x_2 = -21,66 \)

El procedimiento está bien, pero te repito , según la imagen \( a=17.321 \) y por lo tanto resulta \( b=26.935 \)


Citar
Ahora calculo h_2

\( \displaystyle h_2 = 15+[b]7[/b]  = 22 m  \) que es el resultado que da el apunte.

¿Pero al 7 de donde lo sacaste?

28 Febrero, 2020, 04:14 am
Respuesta #6

hfarias

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Estimado abdulai al valor (7) lo saco de lo siguiente:

\( \displaystyle h_2= h_1 + b\cdot b \cdot sen 15º \)

\(  \displaystyle h_2= 15m + (28,38 \cdot 0,2588 ) = 15m+7,34 = 22 m \)

Pero si lo hago cómo calcule "a" primero el resultado despues de realizar todas las operaciones.

\( \displaystyle h_2= 26,93m + 3.882 = 30,81 m \)

y el resultado final no es el mismo que tiene el problema en el apunte que es de 22 m.

Pero te envio un archivo con el problema que esta en el apunte,puede haber un error en como lo dibuje yo.



Gracias.


28 Febrero, 2020, 05:18 am
Respuesta #7

Abdulai

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Estimado abdulai al valor (7) lo saco de lo siguiente:

\( \displaystyle h_2= h_1 + b\cdot b \cdot sen 15º \)

\(  \displaystyle h_2= 15m + (28,38 \cdot 0,2588 ) = 15m+7,34 = 22 m \)

Pero si lo hago cómo calcule "a" primero el resultado despues de realizar todas las operaciones.

\( \displaystyle h_2= 26,93m + 3.882 = 30,81 m \)

y el resultado final no es el mismo que tiene el problema en el apunte que es de 22 m.

Pero te envio un archivo con el problema que esta en el apunte,puede haber un error en como lo dibuje yo.

Gracias.

Estás forzando el resultado mediante redondeos gruesos e inventando relaciones trigonométricas (\( a= \sin(60°)\cdot 15 \))

Al usar calculadora, tratá de no redondear (guardando en memoria los resultados intermedios) o usar una cantidad exagerada de decimales, tanto para controlar el resultado como para no preocuparte por inestabilidades numéricas que pudiera haber durante el cálculo.


-  \( a=\dfrac{15}{\sin 60°} = 17.32050807 \)

- \( a^2 + b^2 - 2 a b \cos(75°) = 28^2\;\;\longrightarrow\;\; b^2 - 8.965754721 b - 484 =0 \;\;\longrightarrow\;\; b = 26.93496388 \)

- \( h_2 = h_1+b\sin(15°) = 15 + 6.971281631 = 21.97128163  \)   



28 Febrero, 2020, 02:53 pm
Respuesta #8

hfarias

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estimado abdulay no invento nada porque en la respuesta primera aclaro que el resultado es \( a = 17,32  \)

haciendo el despeje correctamente del mismo \( \displaystyle a= \frac{15m}{sen60º} \),como tu lo aclaras ahora y no

\( \displaystyle a= sen60º * h_1 \)

El segundo despeje no corresponde porque esta mal despejado,tu lo aclaras también,pero lo hice porque me dio el resultado de el ejercicio.

Sabia y estaba seguro que estaba mal.

Lo otro ha sido por los redondeos de la calculadora.

Gracias nuevamente.


28 Febrero, 2020, 07:52 pm
Respuesta #9

feriva

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Hola, hfarias, te lo hago a mi manera, por si quieres tener otra visión:




Por el dibujo (aunque no se ve muy bine) tenemos:

\( \dfrac{15}{a}=sen(60)\,;a=17,32
  \)
...

También se ve que

\( x=28\cdot cos(\theta)
  \)

\( H=28\cdot sen(\theta)
  \)

...

Y también que

\( \dfrac{H}{a-x}=tg(75)=3,732
  \)

\( H=17,32\cdot3,732-3,732x
  \)

\( H=64,638-3,732\cdot x
  \)

...

Sustituyendo en la última

\( H=28\cdot sen(\theta)=64,638-3,732\cdot28\cdot cos(\theta)
  \)

o sea

\( sen(\theta)=2,309-3,732\cdot cos(\theta)
  \)

\( \sqrt{1-cos^{2}(\theta)}=2,309-3,732\cdot cos(\theta)
  \)

Solucionando la ecuación de segundo grado

\( cos(\theta)\approx0,37\Rightarrow\theta\approx68,28
  \) grados.

Entonces el ángulo beta, complementando, es

\( 180-60-68,28=51,72
  \)

con lo que

\( \dfrac{h_{2}}{28}=sen(51,72)=0,785
  \)

\( h_{2}=0,785\cdot28=21,98
  \)

Saludos.