Autor Tema: Duda sobre arco de circunferencia y su longitud

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30 Enero, 2020, 06:26 am
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FerOliMenNewton

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Hola! Primero que nada les envío un saludo , espero que estén bien.
Supongamos que tenemos una circunferencia de radio \( r \), centrada en \( (0,r) \) , supongamos que la vamos a rodar en línea recta y sobre una superficie plana, y sobre dicha circunferencia hacemos una marca.
 Me interesa conocer la posición de la marca(a la cual denotaré por \( P \) y suponga que inicialmente se encontraba en \( (0,2r) \) ).
Cuando la circunferencia haya rodado una cierta distancia, el punto \( P \) ocupará una nueva posición; sea \( \theta \) el ángulo formado por la semirecta(paralela al eje \( Y \)) que parte del centro de la circunferencia y el segmento que une al centro \( C \) de la circunferencia con el punto \( P \).
Intuitivamente, la distancia recorrida por el centro COINCIDE con la longitud del arco subtendido por el ángulo opuesto a \( \theta \), la cual está dada por \( r \theta \).
Pero ¿Cómo puedo demostrar esto último? Geométricamente PARECE cierto pero me gustaría dar un argumento que convenza a un ciego. He adjuntado una imagen para que se entienda mejor a lo que me refiero.


 
De antemano gracias.
Saludos.

30 Enero, 2020, 08:45 am
Respuesta #1

sugata

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30 Enero, 2020, 10:01 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 No estoy seguro de que quieres justificar rigurosamente. Las propias hipótesis físicas del problema son las que sustentan el hecho de que el camino recorrido en el suelo por la circunferencia coincide con la longitud del arco que indicas. Por ejemplo si la circunferencia "patinase" sobre el suelo, es decir, pudiese en algún momento girar sin avanzar (como ocurre cuando un coche patina sobre el hielo) pues ya no sería así.

Saludos.

01 Febrero, 2020, 11:43 pm
Respuesta #3

FerOliMenNewton

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Hola

 No estoy seguro de que quieres justificar rigurosamente. Las propias hipótesis físicas del problema son las que sustentan el hecho de que el camino recorrido en el suelo por la circunferencia coincide con la longitud del arco que indicas. Por ejemplo si la circunferencia "patinase" sobre el suelo, es decir, pudiese en algún momento girar sin avanzar (como ocurre cuando un coche patina sobre el hielo) pues ya no sería así.

Saludos.
Hola Luis, gracias por tu respuesta.
Ya veo  :o , entonces lo único que se debe pedir es que la circunferencia no "patine". Entendido .
Saludos y de nuevo gracias :D .
Creo que buscas ésto.
¡Gracias por la info sugata! Saludos