Autor Tema: ¿Cómo resolver estos dos problemas con geometría?

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

23 Enero, 2020, 05:27 am
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Jhon Peralta

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Hola, me podrían ayudar a resolver estos dos problemas, yo he logrado resolverlos con trigonometría pero lo que realmente me interesa es saber resolverlos utilizando geometría:
1. En la figura, calcule “x”. Si: I es incentro del triángulo ABC. Respuesta: 71,5°





2. En la figura, calcule “x”. Respuesta: 22,5°

Muchas gracias de antemano.

26 Enero, 2020, 10:21 pm
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

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De momento va el primero. La respuesta es \( \arctg 3\approx{}71.5651^\circ{} \)


Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

26 Enero, 2020, 11:38 pm
Respuesta #2

ingmarov

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¡Qué bonita esta matemática...!

Gracias maestro Ignacio.



Pongo visible el segundo




Saludos

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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27 Enero, 2020, 06:11 am
Respuesta #3

Jhon Peralta

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Muchas gracias Ignacio Larrosa por el apoyo y el tiempo dedicado.

27 Enero, 2020, 06:38 am
Respuesta #4

ingmarov

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Hola

Pongo un camino fácil de ver, el trigonométrico, por esto lo dejo en spoiler.

Revisa John

Spoiler
De la figura podemos plantear las ecuaciones

\( tan(x)=\dfrac{y}{a}\quad\Rightarrow\quad y=a\cdot tan(x) \)

\( tan(3x)=\dfrac{y+2a}{a}\quad\Rightarrow\quad y=a\cdot tan(3x)-2a \)


Igualando y, podemos llegar a la ecuación

\( \bf tan(3x)=tan(x)+2 \)


Utilizamos la identidad

\( tan(3x)=\dfrac{3tan(x)-tan^3(x)}{1-3tan^2(x)} \)


Sustituyendo en la ecuación, podemos llegar a

\( tan^3(x)+3tan^2(x)+tan(x)-1=0 \)

Un polinomio de grado tres, podemos factorizar

\( (tan(x)+1)(tan(x)+1-\sqrt{2})(tan(x)+1+\sqrt{2})=0 \)


Por lo que las soluciones resultan

\( x=\{\pi n-\dfrac{7\pi}{8},\; \pi n-\dfrac{3\pi}{8},\; \pi n-\dfrac{\pi}{8}\},\qquad n\in\mathbb{Z} \)


De la figura podemos decir que

\( 0<3x<\dfrac{\pi}{2}\quad\Rightarrow \quad 0<x<\dfrac{\pi}{6} \)


Para n=1, el único valor que está en el intervalo es

\( x=\dfrac{\pi}{8}rad=22.5^{\circ} \)


[cerrar]

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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28 Enero, 2020, 06:12 am
Respuesta #5

Jhon Peralta

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Gracias ingmarov. Yo también lo hice así, pero de una manera un poco más algebraica.

28 Enero, 2020, 06:26 am
Respuesta #6

ingmarov

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Gracias ingmarov. Yo también lo hice así, pero de una manera un poco más algebraica.

Ah interesante, comparte tu solución para echarle un ojo.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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28 Enero, 2020, 05:24 pm
Respuesta #7

Ignacio Larrosa

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Una solución puramente geométrica:



Y otra trigonométrica muy sencilla:

\( CD=a·\sec \alpha \\
\triangle ACD\rightarrow{} \frac{a·\sec \alpha}{\sen(90^\circ -3\alpha)}=\frac{2a}{\sen(2 \alpha)}\Rightarrow{\sen(\alpha)=\sen(90^\circ - 3\alpha)}\\
0<\alpha, 3\alpha<90^\circ\Rightarrow{}\alpha=90^\circ-3\alpha\Rightarrow{}\alpha=22.5^\circ \)

Ambas debidas a fatih sağlam en https://twitter.com/delireis_1453/status/1222105086836559872?s=20

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

29 Enero, 2020, 07:31 am
Respuesta #8

Jhon Peralta

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Gracias por toda la ayuda Ignacio Larrosa.

PD: En la imagen hay un pequeño error, debería decir: <BDC = <ADA' = <A'AC = <ACB = 3α

29 Enero, 2020, 12:40 pm
Respuesta #9

Ignacio Larrosa

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Gracias por toda la ayuda Ignacio Larrosa.

PD: En la imagen hay un pequeño error, debería decir: <BDC = <ADA' = <A'AC = <ACB = 3α

Tienes razón, fue un gazapo. Aquí tienes otra demostración geométrica sencilla:



Saludos,
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