Autor Tema: ¿Es una aplicación diferenciable y regular?

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15 Octubre, 2019, 01:51 am
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MatMiki

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Consideramos el semicono definido por la circunferencia unidad en el plano OXY con vértice en el punto (0, 0, 1) y el hemisferio superior de la esfera unidad, sin el polo Norte. Se establece entre ambas superficies la aplicación f que envía cada punto p del semicono en el f(p) de la semiesfera que es proyección ortogonal al plano OXY de p. He de hallar la expresión de la aplicación, probar que es diferenciable y regular, y comprobar que no es isometría local, ni localmente conforme.

Creo tener la expresión:

    \( f((x,y,z))  =  (x,y,\sqrt[2]{1-x^2-y^2}) \)

donde  \( (x,y,z)\in{A} \) y  \( f((x,y,z)) \in{B} \), con

\( A=\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}} | z=1-\sqrt{x^2+y^2}, x^2+y^2\leq{1}\} \) y
\( B =\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}}| z=\sqrt[2]{1-x^2-y^2}, 0<x^2+y^2\leq{1}\} \).

¿Podrían ayudarme?

15 Octubre, 2019, 10:48 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Consideramos el semicono definido por la circunferencia unidad en el plano OXY con vértice en el punto (0, 0, 1) y el hemisferio superior de la esfera unidad, sin el polo Norte. Se establece entre ambas superficies la aplicación f que envía cada punto p del semicono en el f(p) de la semiesfera que es proyección ortogonal al plano OXY de p. He de hallar la expresión de la aplicación, probar que es diferenciable y regular, y comprobar que no es isometría local, ni localmente conforme.

Creo tener la expresión:

    \( f((x,y,z))  =  (x,y,\sqrt[2]{1-x^2-y^2}) \)

donde  \( (x,y,z)\in{A} \) y  \( f((x,y,z)) \in{B} \), con

\( A=\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}} | z=1-\sqrt{x^2+y^2}, x^2+y^2\leq{1}\} \) y
\( B =\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}}| z=\sqrt[2]{1-x^2-y^2}, 0<x^2+y^2\leq{1}\} \).

¿Podrían ayudarme?

¿Qué has intentado? Que es regular es inmediato. De hecho si compones con las cartas:

\( (x,y)\to (x,y,1-\sqrt{x^2+y^2}) \) para el cono
\( (x,y)\to (x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}) \) para la semiesfera

la aplicación es la identidad.

Para ver que no es isometría local ni conforme comprueba que no conserva ni ángulos ni longitudes de curvas.

Para ello es inmediato ver que las generatrices del cono van sobre los cuartos de meridianos de la esfera pero miden distinto.

Saludos.