Autor Tema: Demostrar que 2ACB es congruente con AOB

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05 Octubre, 2019, 12:00 pm
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OriolRama

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Me podrias ayudar con estos dos ejercicios?
1) Sean A,B y C tres puntos de una circunferencia de centro O. Demostrar que los triangulos ACB y AOB cumplen que 2ACB es congruente con AOB.

Evidentemente, los segmentos AO, BO y CO son congruentes entre si,, por lo que el triangulo AOB tiene dos lados iguales.
Construyendo el triangulo OBC, por la misma razon, es un triangulo isosceles. Es mas, como AO y CO son congruentes, los triangulos ABO y OBC tienen dos angulos iguales, llamados alpha.
Por lo que el triangulo ABC tiene un angulo que mide 2 veces alpha.
Ya no se como avanzar mas.

2) Demostrar que en un triangulo a mayor lado le corresponde menor altura.
Muchas gracias!

05 Octubre, 2019, 04:53 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Me podrias ayudar con estos dos ejercicios?
1) Sean A,B y C tres puntos de una circunferencia de centro O. Demostrar que los triangulos ACB y AOB cumplen que 2ACB es congruente con AOB.

Evidentemente, los segmentos AO, BO y CO son congruentes entre si,, por lo que el triangulo AOB tiene dos lados iguales.
Construyendo el triangulo OBC, por la misma razon, es un triangulo isosceles. Es mas, como AO y CO son congruentes, los triangulos ABO y OBC tienen dos angulos iguales, llamados alpha.
Por lo que el triangulo ABC tiene un angulo que mide 2 veces alpha.
Ya no se como avanzar mas.

...

Lo que te puse en rojo, no es cierto. Porque dos triángulos tengan dos lados congruentes no implica que también tengan ángulos congruentes.

Lo que te piden demostrar es la propiedad de los ángulos inscritos ¿Sabes eso?, la cual nos dice que el ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende.

Hay demostraciones, una en Wikipedia.

Creo que yo intentaría construir el cuadrilátero ABCD siendo AD un diámetro.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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05 Octubre, 2019, 05:12 pm
Respuesta #2

geómetracat

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Para el 2, piensa en la fórmula del área de un triángulo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Octubre, 2019, 09:08 pm
Respuesta #3

OriolRama

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Lo que te puse en rojo, no es cierto. Porque dos triángulos tengan dos lados congruentes no implica que también tengan ángulos congruentes.

Lo que te piden demostrar es la propiedad de los ángulos inscritos ¿Sabes eso?, la cual nos dice que el ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende.

Hay demostraciones, una en Wikipedia.

Creo que yo intentaría construir el cuadrilátero ABCD siendo AD un diámetro.

Saludos

No sé como hacerlo, no veo relación con la propiedad que me has comentado.
Sabrias darme otra pista?

Muchas gracias!

05 Octubre, 2019, 09:28 pm
Respuesta #4

ingmarov

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Me podrias ayudar con estos dos ejercicios?
1) Sean A,B y C tres puntos de una circunferencia de centro O. Demostrar que los triangulos ACB y AOB cumplen que 2ACB es congruente con AOB.

...

Lo que te marco en rojo, no pueden ser triángulos. Son ángulos, debería decir

\( 2m(\angle{ACB})=m(\angle{AOB}) \)

O

\( 2\angle{ACB}\equiv \angle{AOB} \)
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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06 Octubre, 2019, 03:20 am
Respuesta #5

ingmarov

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Te ayudo un poco más con el primero

Para esta imagen prueba que \( 2\angle{ACB}\equiv \angle{AOB} \). Y encuentra cuanto mide el ángulo ABC.

Spoiler

[cerrar]

Para la segunda imagen demuestra que los triángulos APD y BPC son semejantes. Lo cual probará que los ángulos ACB y ADB tienen igual medida.

Spoiler

[cerrar]


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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06 Octubre, 2019, 05:21 pm
Respuesta #6

OriolRama

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Te ayudo un poco más con el primero

Para esta imagen prueba que \( 2\angle{ACB}\equiv \angle{AOB} \). Y encuentra cuanto mide el ángulo ABC.

Spoiler

[cerrar]

Para la segunda imagen demuestra que los triángulos APD y BPC son semejantes. Lo cual probará que los ángulos ACB y ADB tienen igual medida.

Spoiler

[cerrar]


Hola! Muchas gracias!

Entiendo que esto sólo sirve para un caso no? Puesto que no debería de ser cierto si AOC  no estuviesen alienados. Puede ser que AOC no formen una recta, si coges otro punto C tambien funciona la demostración¿?

Además, no se como lo has demostrado. Has utilizado que la suma de los angulos de un triangulo es 180 grados? Es como lo he hecho mediante tu dibujo,
puesto que el angulo OCB es el mismo que le angulo OBC, puesto que el triangulo OBC es isosceles. entonces 2OBC mas el angulo BOC (angulo formado por el centro de la circunferència) tiene que ser 180 grados. Entonces claramente té sale la igualdad que me pides demostrar.
El caso es que no puedo utilizar que la suma de los angulos de un triangulo es 180. Al igual que el segundo ejercicio no puedo utilizar la formula del area del triangulo. Sólo lo debo provar con la axiomática bàsica de Euclides y sus teoremas.

Muchas gracias!

Saludos

06 Octubre, 2019, 05:52 pm
Respuesta #7

ingmarov

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...
Entiendo que esto sólo sirve para un caso no? Puesto que no debería de ser cierto si AOC  no estuviesen alienados. Puede ser que AOC no formen una recta, si coges otro punto C tambien funciona la demostración¿?

El segundo dibujo, lo extiende al caso en que B y C están al mismo lado de la recta AD, piénsalo.




...El caso es que no puedo utilizar que la suma de los angulos de un triangulo es 180. Al igual que el segundo ejercicio no puedo utilizar la formula del area del triangulo. Sólo lo debo provar con la axiomática bàsica de Euclides y sus teoremas.
...

Qué problema... ¿Por qué no demuestras que la suma de ángulos internos de un triángulo es 180 grados? Es fácil, tazas una recta paralela a la base y por las propiedades de ángulos de rectas paralelas y una secante a ambas se prueba.


Saludos
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06 Octubre, 2019, 05:55 pm
Respuesta #8

OriolRama

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Entiendo que esto sólo sirve para un caso no? Puesto que no debería de ser cierto si AOC  no estuviesen alienados. Puede ser que AOC no formen una recta, si coges otro punto C tambien funciona la demostración¿?

El segundo dibujo, lo extiende al caso en que B y C están al mismo lado de la recta AD, piénsalo.




...El caso es que no puedo utilizar que la suma de los angulos de un triangulo es 180. Al igual que el segundo ejercicio no puedo utilizar la formula del area del triangulo. Sólo lo debo provar con la axiomática bàsica de Euclides y sus teoremas.
...

Qué problema... ¿Por qué no demuestras que la suma de ángulos internos de un triángulo es 180 grados? Es fácil, tazas una recta paralela a la base y por las propiedades de ángulos de rectas paralelas y una secante a ambas se prueba.


Saludos

Vale! hoy estoy un poco despistado, me he dado cuenta demasiado tarde de que le demostración generalizada era la segunda imagen. Lo siento! Justo ahora iba a modificar mi mensaje anterior.  ::)

El profesor nos dije explicitamente que no debiamos usar medidas de angulos, pero me parece que puedo decir que dos angulos "forman una recta" (esta bien decirlo asi en caso que sumen 180?) o que un angulo es recto.
Por cierto, tengo un problema de notificación. Si me ponen por ejemplo, ABC y encima de ABC la forma de un triangulo sin base, se refieren al triangulo o al angulo ABC?
Muchas gracias de nuevo!

06 Octubre, 2019, 06:21 pm
Respuesta #9

ingmarov

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Ah

Nada de ángulos. Entonces no sé de qué trata este problema.

No conozco esa notación para ángulo o triángulo.

Saludos
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