Autor Tema: Puntos que equidistan a dos rectas que se cruzan

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28 Septiembre, 2019, 07:34 pm
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asaca

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¡Hola! Mi problema es cómo puedo encontrar el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan a dos rectas que se cruzan. Debería salir una cuádrica. ¿Alguna idea de cómo puedo hacerlo?

29 Septiembre, 2019, 06:41 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

El lugar geométrico deben ser las dos bisectrices de los ángulos formados por las rectas.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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29 Septiembre, 2019, 09:19 am
Respuesta #2

feriva

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Hola.

Debería salir una cuádrica.

Yo lo veo más como una cónica; atendiendo a lo ya dicho por Ingmarov, podemos dibujar un cono, en el que podemos tomar un par de rectas cualesquiera, y ver que es el eje del cono



Saludos.


29 Septiembre, 2019, 10:04 am
Respuesta #3

asaca

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Hola

El lugar geométrico deben ser las dos bisectrices de los ángulos formados por las rectas.

Saludos

Hola.


Yo lo veo más como una cónica; atendiendo a lo ya dicho por Ingmarov, podemos dibujar un cono, en el que podemos tomar un par de rectas cualesquiera, y ver que es el eje del cono


Saludos.



Pero las rectas no se cortan, se cruzan. No puedo formar un cono con ellas.

29 Septiembre, 2019, 10:10 am
Respuesta #4

feriva

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Pero las rectas no se cortan, se cruzan. No puedo formar un cono con ellas.

Ah, perdón, sí, me había fijado mal.

Saludos.

29 Septiembre, 2019, 03:18 pm
Respuesta #5

ingmarov

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...
Pero las rectas no se cortan, se cruzan. No puedo formar un cono con ellas.

Ah, para mi si se cruzan es igual a se cortan. Olvidé que cruzar no se interpreta así en España. Aquí, les llamamos rectas alabeadas, no les llamamos rectas cruzadas, no sé si en América pasa pero en mi país es así.

Hay un plano que es paralelo y equidistante a ambas rectas, las proyecciones de estas rectas sobre ese plano forman ángulos y sus bisectrices creo son el lugar geométrico pedido.

Saludos
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29 Septiembre, 2019, 07:41 pm
Respuesta #6

ingmarov

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Corregido


La intuición siempre nos engaña ( porque no solo las bisectrices mencionadas son el lugar perdido), miremos un ejemplo

\( L_1: (0,0,k)+t(1,0,0) \)

\( L_2: (0,0,{\bf \color{red}-k})+t(0,1,0) \)

P(x,y,z).    \( \vec{v_1}=(-x,-y,k-z),\qquad \vec{v_2}=(-x,-y,-k-z) \)

\( d(P,L_1)=|v_1\times (1,0,0)|=\sqrt{(k-z)^2+y^2} \)

\( d(P,L_2)=|v_2\times (0,1,0)|=\sqrt{(k+z)^2+x^2} \)

Igualamos las distancias

\( \sqrt{(k-z)^2+y^2}=\sqrt{(k+z)^2+x^2} \)

Elevamos al cuadrado y simplificamos

\( z=\dfrac{1}{4k}(y^2-x^2) \).    Una silla de montar (Paraboloide hiperbólico).


Las bisectrices forman parte del lugar, El lugar es todo el Paraboloide hiperbólico.

Saludos


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30 Septiembre, 2019, 05:23 am
Respuesta #7

hméndez

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\( z=\dfrac{1}{4k}(y^2-x^2) \).    Una silla de montar (Paraboloide hiperbólico).


Las bisectrices forman parte del lugar.

Saludos


No sólo las bisectrices forman parte del lugar geométrico (locus). Todo el lugar es un paraboloide hiperbólico, como bien lo has obtenido.

Como complemento:

Un paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada (se lo puede ver como constituida por dos familias de rectas).

En este caso las dos familias de rectas se encuentran como sigue:

\( y^2-x^2=4kz \)

\( (y-x)(y+x)=4kz \)

\( y-x=4k\alpha \wedge y+x=\frac {1}{\alpha}z \)  (intersección de 2 planos familia 1)

\( y-x=\frac {1}{\beta}z \wedge y+x=4k\beta \)     (intersección de 2 planos familia 2)

Saludos

P.D. uno de los puntos de las rectas debe ser (0, 0, -k), corrígelo.

30 Septiembre, 2019, 05:59 am
Respuesta #8

ingmarov

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Hola

Antes de todo gracias por echarle un ojo.

...
No sólo las bisectrices forman parte del lugar geométrico (locus). Todo el lugar es un paraboloide hiperbólico, como bien lo has obtenido.

Sí, no lo aclaré en mi mensaje, ya lo he añadido.



Como complemento:

Un paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada (se lo puede ver como constituida por dos familias de rectas).

En este caso las dos familias de rectas se encuentran como sigue:

\( y^2-x^2=4kz \)

\( (y-x)(y+x)=4kz \)

\( y-x=4k\alpha \wedge y+x=\frac {1}{\alpha}z \)  (intersección de 2 planos familia 1)

\( y-x=\frac {1}{\beta}z \wedge y+x=4k\beta \)     (intersección de 2 planos familia 2)

Saludos

P.D. uno de los puntos de las rectas debe ser (0, 0, -k), corrígelo.

Interesante complemento ¿A qué rama de la geometría o trigonometría corresponde la teoría sobre "superficie reglada" ?


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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30 Septiembre, 2019, 03:36 pm
Respuesta #9

hméndez

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Interesante complemento ¿A qué rama de la geometría o trigonometría corresponde la teoría sobre "superficie reglada" ?

...
Saludos

Los conceptos en los que se fundamenta, corresponden a la geometría proyectiva, sin embargo se estudia a profundidad
en una rama de la geometría conocida como geometría algebraica.

https://en.wikipedia.org/wiki/Ruled_surface

https://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_reglada

Saludos