Autor Tema: Teorema de Newton?

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25 Septiembre, 2019, 08:00 pm
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Rashed

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Hola buenas tardes, actualmente estoy intentando resolver el siguiente problema:

Un círculo está inscrito en un cuadrilátero ABCD, tocando los lados \( \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DA}  \)en los puntos E,F,G,H, respectivamente. Entonces las líneas \( \overline{AC},\overline{EG},\overline{BD},\overline{FH} \) concurren.


 Me sugirieron que utilice el teorema de Pascal sobre puntos colineales pero me está complicando más entender el de Pascal y como lo podría aplicar al mío. Alguna sugerencia ?

PD: Teorema de Pascal: Sea A,B,C,D,E,F puntos sobre una circunferencia. Sean P,Q,R los puntos de intersección de AB con DE , BC con EF, y CD con FA respectivamente entonces los puntos P,Q,R son colineales


25 Septiembre, 2019, 10:45 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Yo utilizaría mejor el teorema de Brianchon, que es el dual del de Pascal, los tienes aquí.

Saludos.

26 Septiembre, 2019, 01:15 am
Respuesta #2

hméndez

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Hola buenas tardes, actualmente estoy intentando resolver el siguiente problema:

Un círculo está inscrito en un cuadrilátero ABCD, tocando los lados \( \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DA}  \)en los puntos E,F,G,H, respectivamente. Entonces las líneas \( \overline{AC},\overline{EG},\overline{BD},\overline{FH} \) concurren.


 Me sugirieron que utilice el teorema de Pascal sobre puntos colineales pero me está complicando más entender el de Pascal y como lo podría aplicar al mío. Alguna sugerencia ?

PD: Teorema de Pascal: Sea A,B,C,D,E,F puntos sobre una circunferencia. Sean P,Q,R los puntos de intersección de AB con DE , BC con EF, y CD con FA respectivamente entonces los puntos P,Q,R son colineales



El título que has colocado despista, tu problema no se trata del Teorema de Newton.

Sigue la recomendación de martiniano y mira aquí https://en.wikipedia.org/wiki/Tangential_quadrilateral#Concurrent_and_perpendicular_lines. A ver si te sirve.

Saludos

26 Septiembre, 2019, 02:06 pm
Respuesta #3

Ignacio Larrosa

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Hola buenas tardes, actualmente estoy intentando resolver el siguiente problema:

Un círculo está inscrito en un cuadrilátero ABCD, tocando los lados \( \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DA}  \)en los puntos E,F,G,H, respectivamente. Entonces las líneas \( \overline{AC},\overline{EG},\overline{BD},\overline{FH} \) concurren.


 Me sugirieron que utilice el teorema de Pascal sobre puntos colineales pero me está complicando más entender el de Pascal y como lo podría aplicar al mío. Alguna sugerencia ?

PD: Teorema de Pascal: Sea A,B,C,D,E,F puntos sobre una circunferencia. Sean P,Q,R los puntos de intersección de AB con DE , BC con EF, y CD con FA respectivamente entonces los puntos P,Q,R son colineales



Como te han comentado, no se trata del Teorema de Newton, aunque está relacionado, y puede considerarse un corolario del Teorema de Brianchon. Pero también puede demostrarse de forma más elemental utilizando el Teorema del seno, como puedes ver en la figura adjunta o mejor en el applet Concurrencia en los cuadriláteros circunscriptibles.



El Teorema de Newton lo que afirma es que el centro de la circunferencia inscrita está situado en la recta de Newton del cuadrilátero, que es la que pasa por los puntos medios de las diagonales, incluida la que une los puntos de intersección de los pares de lados opuestos, considerando el cuadrilátero completo.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

27 Septiembre, 2019, 02:00 am
Respuesta #4

Rashed

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Ah disculpen entonces por el titulo, pero ya sospechaba que no era exactamente de el, había cosas que no me cerraban. Estuve viendo las respuesta y el teorema de brianchon, mas o menos estoy mejor encaminado ahora pero se había hecho difícil todo.