Autor Tema: Cerradura, interior y frontera

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18 Septiembre, 2019, 09:51 pm
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Hauss

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Ayuda para demostrar lo siguiente:
“La cerradura de A es un subconjunto del interior de A unión disjunta frontera de A”
Esto es:
\(  \overline{A} \subseteq{int(A) \cup{{\partial A}}} \)

Donde la unión debe ser la unión disjunta, y \( \partial A  \) es la frontera de A

Título corregido: De "Conjuntos" a "Cerradura, interior y frontera."



19 Septiembre, 2019, 07:34 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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    • Fernando Revilla
“La cerradura de A es un subconjunto del interior de A unión disjunta frontera de A” Esto es: \(  \overline{A} \subseteq{int(A) \cup{{\partial A}}} \) Donde la unión debe ser la unión disjunta, y \( \partial A  \) es la frontera de A

Más aún, se verifica  \(  \overline{A}=(\text{int }A )\cup{{\partial A}} \). No deberías tener problemas en demostrarlo si conoces las respectivas definiciones. Por ejemplo, si \( x\in (\text{int }A) \cap{{\partial A}} \), por pertenecer a \( \text{int }A \) existe entorno \( V_x \) de \( x \) tal que \( V_x\subset A \) y por pertenecer a \( \partial A \) todo entorno de \( x \) contiene puntos de \( A \) y del complementario, lo cual es absurdo. Es decir, \( (\text{int }A) \cap{\partial A}=\emptyset. \) Por favor, intenta el resto.

19 Septiembre, 2019, 07:36 am
Respuesta #2

Hauss

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“La cerradura de A es un subconjunto del interior de A unión disjunta frontera de A” Esto es: \(  \overline{A} \subseteq{int(A) \cup{{\partial A}}} \) Donde la unión debe ser la unión disjunta, y \( \partial A  \) es la frontera de A

Más aún, se verifica  \(  \overline{A}=(\text{int }A )\cup{{\partial A}} \). No deberías tener problemas en demostrarlo si conoces las respectivas definiciones. Por ejemplo, si \( x\in (\text{int }A) \cap{{\partial A}} \), por pertenecer a \( \text{int }A \) existe entorno \( V_x \) de \( x \) tal que \( V_x\subset A \) y por pertenecer a \( \partial A \) todo entorno de \( x \) contiene puntos de \( A \) y del complementario, lo cual es absurdo. Es decir, \( (\text{int }A) \cap{\partial A}=\emptyset. \) Por favor, intenta el resto.

Habria manera de probarlo sin el concepto de entorno? Lo que sucede es que no lo vimos como definicion, lo que se me ocurrió es igual una demostración por reducción al absurdo, pero no estoy seguro de estar en lo correcto

19 Septiembre, 2019, 07:38 am
Respuesta #3

Hauss

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Este fue mi intento:


19 Septiembre, 2019, 09:43 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Este fue mi intento:



Antes da nada:

- Deberías de haber expresado tu intento directamente en el mensaje usando LaTeX para las fórmulas. No es tan costoso ya que no es muy largo lo que has escrito.

- Pero, si aun así lo pones en una foto de algo manuscrito...¡al menos hazlo con un poco de cuidado!. Que la foto se limite a la demostración que quieres exhibir, que esté centrado, en un toma cenital,...en fin...¡un poco de "cariño" al hacer las cosas!.

En cuanto al contenido de tu intento; realmente el núcleo de tu demostración se reduce a una afirmación que no está justificada en detalle.

 Dices que si \( x\not\in Fr(A) \) y \( x\not\int(A) \) entonces \( x \) es un punto exterior y esto es imposible. ¿Por qué?. Tienes que detallar más (a no ser que te bases en algún resultado previamente probado: en ese caso deberías de especificar cuál).

 Si vas a continuar preguntando dudas sobre esta cuestión (te invito a ello si no te queda claro) debes de inidicar además que definiciones de clausura, interior y frontera manejas. Digo esto porque Fernando Revilla te propuso un camino muy natural y dijiste que usaba definiciones que no habías visto.

Saludos.