Hola
Hola a todos. Les pido el favor de darme ideas para demostrar lo siguiente:
Sea \( f\left( x \right) ={ x }^{ 4 }+{ a }_{ 3 }{ x }^{ 3 }+{ a }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }x+{ a }_{ 0 }=\prod _{ i=1 }^{ 4 }{ \left( x-{ \alpha }_{ i } \right) } \), donde \( { \alpha }_{ i } \) son las raíces. Entonces su resolvente cúbica es \( g\left( x \right) =\left( x-{ \beta }_{ 1 } \right) \left( x-{ \beta }_{ 2 } \right) \left( x-{ \beta }_{ 3 } \right) ={ x }^{ 3 }+{ b }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ b }_{ 1 }x+{ b }_{ 0 } \) donde \( { \beta }_{ 1 }={ \alpha }_{ 2 }{ \alpha }_{ 3 }+{ \alpha }_{ 1 }{ \alpha }_{ 4 }\quad { \beta }_{ 2 }={ \alpha }_{ 1 }{ \alpha }_{ 3 }+{ \alpha }_{ 2 }{ \alpha }_{ 4 }\quad { \beta }_{ 3 }={ \alpha }_{ 1 }{ \alpha }_{ 2 }+{ \alpha }_{ 3 }{ \alpha }_{ 4 } \), además \( { b }_{ 2 }=-{ a }_{ 2 }\quad { b }_{ 1 }={ a }_{ 1 }{ a }_{ 3 }-4{ a }_{ 0 }\quad { b }_{ 0 }=-{ { { a }_{ 3 } }^{ 2 } }{ a }_{ 0 }-{ { a }_{ 1 } }^{ 2 }+4{ a }_{ 2 }{ a }_{ 0 } \).
Por otra parte no me es claro por que se definen así los \( { \beta }_{ i } \) raíces de la cúbica, cómo se llega a esa forma? Gracias.
De esta igualdad:
\( { x }^{ 4 }+{ a }_{ 3 }{ x }^{ 3 }+{ a }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ a }_{ 1 }x+{ a }_{ 0 }=\prod _{ i=1 }^{ 4 }{ \left( x-{ \alpha }_{ i } \right) } \)
Tienes que:
\( a_3=-(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4) \)
\( a_2=\alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+\alpha_1\alpha_4+\alpha_2\alpha_3+\alpha_2\alpha_4+\alpha_3\alpha_4 \)
\( a_1=-\alpha_1\alpha_2\alpha_3-\alpha_1\alpha_2\alpha_4-\alpha_1\alpha_3\alpha_4-\alpha_2\alpha_3\alpha_4 \)
\( a_0=\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4 \)
De esta otra:
\( \left( x-{ \beta }_{ 1 } \right) \left( x-{ \beta }_{ 2 } \right) \left( x-{ \beta }_{ 3 } \right) ={ x }^{ 3 }+{ b }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ b }_{ 1 }x+{ b }_{ 0 } \)
\( b_2=-(\beta_1+\beta_2+\beta_3) \)
\( b_1=\beta_1\beta_2+\beta_1\beta_3+\beta_2\beta_3 \)
\( b_0=-\beta_1\beta_2\beta_3 \)
Comprueba que tomando:
\( { \beta }_{ 1 }={ \alpha }_{ 2 }{ \alpha }_{ 3 }+{ \alpha }_{ 1 }{ \alpha }_{ 4 }\quad { \beta }_{ 2 }={ \alpha }_{ 1 }{ \alpha }_{ 3 }+{ \alpha }_{ 2 }{ \alpha }_{ 4 }\quad { \beta }_{ 3 }={ \alpha }_{ 1 }{ \alpha }_{ 2 }+{ \alpha }_{ 3 }{ \alpha }_{ 4 } \)
se cumple:
\( { b }_{ 2 }=-{ a }_{ 2 }\quad { b }_{ 1 }={ a }_{ 1 }{ a }_{ 3 }-4{ a }_{ 0 }\quad { b }_{ 0 }=-{ { { a }_{ 3 } }^{ 2 } }{ a }_{ 0 }-{ { a }_{ 1 } }^{ 2 }+4{ a }_{ 2 }{ a }_{ 0 } \)
Por ejemplo, lo más inmediato:
\( b_2=-(\beta_1+\beta_2+\beta_3)=-({ \alpha }_{ 2 }{ \alpha }_{ 3 }+{ \alpha }_{ 1 }{ \alpha }_{ 4 }+{ \alpha }_{ 1 }{ \alpha }_{ 3 }+{ \alpha }_{ 2 }{ \alpha }_{ 4 }+{ \alpha }_{ 1 }{ \alpha }_{ 2 }+{ \alpha }_{ 3 }{ \alpha }_{ 4 })=-a_2 \)
Saludos.
