Autor Tema: Geometría afín

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09 Septiembre, 2019, 03:39 pm
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juanluisog

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Me dan una aplicación afín \( f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 \) que transforma los puntos \( (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) \) en los puntos \( (1,1,1), (1,2,3), (1,2,4), (0,0,0 \)) respectivamente.
a) Hallar la expresión matricial de \( f \) respecto del sistema de referencia canónico.

No sé como se realizan este tipo de ejercicios, necesito ayuda..
Gracias.

09 Septiembre, 2019, 05:42 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Me dan una aplicación afín \( f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 \) que transforma los puntos \( (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) \) en los puntos \( (1,1,1), (1,2,3), (1,2,4), (0,0,0 \)) respectivamente.
a) Hallar la expresión matricial de \( f \) respecto del sistema de referencia canónico.

No sé como se realizan este tipo de ejercicios, necesito ayuda..
Gracias.

Dependiendo de la Teoría que te hayan explicado puede haber varios enfoques.

Uno es el siguiente. Toda transformación afín en el espacio tiene respecto al sistema referencia canónico una expresión matricial de este tipo.

\( f\begin{pmatrix}x\\ y\\z\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\ b\\c\\\end{pmatrix}+A\begin{pmatrix}x\\ y\\z\\\end{pmatrix} \)

Donde \( A \) es una matriz \( 3\times 3 \).

Impón que cumpla las condiciones pedidas.

Por ejemplo:

Spoiler
\( f(1,0,0)=(1,2,3)\quad \Rightarrow{}\quad \begin{pmatrix}1\\ 2\\3\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\ b\\c\\\end{pmatrix}+A\begin{pmatrix}1\\ 0\\0\\\end{pmatrix} \)
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Y resuelve...

Saludos.

09 Septiembre, 2019, 06:29 pm
Respuesta #2

juanluisog

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Supongo que tengo que obtener los valores de a,b y c para las 4 condiciones que me dice el ejercicio, pero la matriz A no sé de qué manera obtenerla para llegar a sacar los valores de a,b y c.

09 Septiembre, 2019, 07:39 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Supongo que tengo que obtener los valores de a,b y c para las 4 condiciones que me dice el ejercicio, pero la matriz A no sé de qué manera obtenerla para llegar a sacar los valores de a,b y c.

¿Pero lo has intentado? Si planteas las cuatro condiciones como te he dicho y por ejemplo le llamas a la matriz \( A \):

\( A=\begin{pmatrix}d&e&f\\g&h&i\\j&k&l\\\end{pmatrix} \)

Tienes un sistema de \( 12 \) ecuaciones y doce incógnitas que puedes resolver.

Con un poco más de cuidado si restas la primera condición a las demás te queda:

\( \begin{pmatrix}1\\ 2\\3\\\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\ 1\\1\\\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}1\\ 0\\0\\\end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix}1\\ 2\\4\\\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\ 1\\1\\\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}1\\ 1\\0\\\end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix}0\\ 0\\0\\\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\ 1\\1\\\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}1\\ 1\\1\\\end{pmatrix} \)

que se puede escribir matricialmente:

\( \begin{pmatrix}0&0&-1\\ 1&1&-1\\2&3&-1\\\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix} \)

de donde:

\( A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\ 1&1&-1\\2&3&-1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}^{-1} \)

Saludos.