Autor Tema: Determinar el hiperplano H

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05 Septiembre, 2019, 10:27 am
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Julio_fmat

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En \( \mathbb{A}_\mathbb{K}^5 \) determinar el hiperplano \( H \) tal que \( L_1\subset H \), \( \ell \parallel H \), donde \( L_1: x_1+x_2-x_3-x_4+2=x_2+x_3+x_4-x_5=0 \) y \( \ell \) es la recta de ecuación cartesiana \( \ell: x_1+x_2=x_1+x_4=x_3+x_2=x_1-x_5+1=0. \)

Hola, sabemos que la ecuación cartesiana del hiperplano \( H \) está dada por \( \alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots +\alpha_n x_n+\beta=0 \) donde \( \beta=-\displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i \mathring{x_i}\in \mathbb{K}. \) Pensando en este caso, ¿como podemos plantearlo? Muchas Gracias.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

05 Septiembre, 2019, 11:13 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

En \( \mathbb{A}_\mathbb{K}^5 \) determinar el hiperplano \( H \) tal que \( L_1\subset H \), \( \ell \parallel H \), donde \( L_1: x_1+x_2-x_3-x_4+2=x_2+x_3+x_4-x_5=0 \) y \( \ell \) es la recta de ecuación cartesiana \( \ell: x_1+x_2=x_1+x_4=x_3+x_2=x_1-x_5+1=0. \)

Hola, sabemos que la ecuación cartesiana del hiperplano \( H \) está dada por \( \alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots +\alpha_n x_n+\beta=0 \) donde \( \beta=-\displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i \mathring{x_i}\in \mathbb{K}. \) Pensando en este caso, ¿como podemos plantearlo? Muchas Gracias.

Una opción es seguir un camino (casi) igual a este:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=110357.new#new

Alterantiva: usar haces de hiperplanos. Para que el plano buscado contenga a \( L_1 \) tiene que ser combinación lineal de los dos hiperplanos cuya intersección lo definen:

\( a(x_1+x_2-x_3-x_4+2)+b(x_2+x_3+x_4-x_5)=0 \)   (*)

 Seleccionamos entre ellos el hiperplano paralelo a \( l \). Ese paralelismo se traduce en que la matriz del sistema que forman las ecuaciones de \( l \) y del hiperplano buscado tenga rango \( 4 \):

\( rango\begin{pmatrix}
1&1&0&0&0\\
1&0&0&1&0\\
0&1&1&0&0\\
1&0&0&0&-1\\
a&a+b&-a+b&-a+b&-b\end{pmatrix}=4 \)

Equivalentemente:

\( det\begin{pmatrix}
1&1&0&0&0\\
1&0&0&1&0\\
0&1&1&0&0\\
1&0&0&0&-1\\
a&a+b&-a+b&-a+b&-b\end{pmatrix}=0 \)

De ahí puedes hallar \( a \) en función de \( b \); sustituir en (*) y concluir.

Saludos.