Autor Tema: Ecuacion cartesiana y parametrica

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05 Septiembre, 2019, 09:26 am
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Julio_fmat

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En \( \mathbb{A}_\mathbb{K}^4 \) escribir la ecuación cartesiana y paramétrica del hiperplano \( H \) tal que \( P \in H, \ell \parallel H \) y \( \pi \parallel H \) donde \( P \equiv (0,0,0,2) \), \( \ell: x_1=x_2=x_3=x_4 \) y \( \pi: x_2=2x_4=2. \)

Hola, podemos escribir \( \left[\begin{array}{cccc}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{0}\\{0}\\{0}\\{2}\end{array}\right]+U\cdot \lambda \). Pero cómo encuentro \( U \) y \( \lambda \)?
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05 Septiembre, 2019, 11:08 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

En \( \mathbb{A}_\mathbb{K}^4 \) escribir la ecuación cartesiana y paramétrica del hiperplano \( H \) tal que \( P \in H, \ell \parallel H \) y \( \pi \parallel H \) donde \( P \equiv (0,0,0,2) \), \( \ell: x_1=x_2=x_3=x_4 \) y \( \pi: x_2=2x_4=2. \)

Hola, podemos escribir \( \left[\begin{array}{cccc}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{0}\\{0}\\{0}\\{2}\end{array}\right]+U\cdot \lambda \). Pero cómo encuentro \( U \) y \( \lambda \)?

Las ecuaciones cartesianas de la recta \( \ell \) son:

\( x_1-x_2=0 \)
\( x_1-x_3=0 \)
\( x_3-x_4=0 \)

Resolviendo el sistema paramétricamente se obtiene:

\( (x_1,x_2,x_3,x_4)=(\lambda,\lambda,\lambda,\lambda)=\lambda(1,1,1,1) \)

y por tanto \( (1,1,1,1) \) es su vector director.

Análogamente las ecuaciones cartesianas del plano \( \pi \) son:

\( x_2=0 \)
\( x_4=1 \)

Resolviendo paramétricamente resulta:

\( (x_1,x_2,x_3,x_4)=(a,0,b,1)=(0,0,0,1)+a(1,0,0,0)+b(0,0,1,0) \)

Por tanto el plano está generado por \( \{(1,0,0,0),(0,0,1,0)\}. \)

El hiperplano buscados es paralelo a ambos y así sus generadores son los de uno y otro:

\( \{(1,0,0,0),(0,0,1,0),(1,1,1,1)\} \)

Por tanto las paramétricas del hiperplano buscado son:

\( \left[\begin{array}{ccc} {x_1}\\ {x_2}\\ {x_3}\\ {x_4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} {0}\\ {0}\\ {0}\\ {2} \end{array}\right]+\begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}\\ {0}&{0}&{1}\\ {0}&{1}&{1}\\ {0}&{0}&{1} \end{bmatrix} \left[\begin{array}{ccc}{\lambda_1}\\ {\lambda_2}\\ {\lambda_3} \end{array}\right] \)

Saludos.

09 Septiembre, 2019, 09:30 am
Respuesta #2

Julio_fmat

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Muchas Gracias el_manco, me ha servido.  :aplauso:
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