Autor Tema: Propiedades proyectivas de las cónicas.

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30 Agosto, 2019, 11:16 am
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martiniano

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PROPIEDADES PROYECTIVAS DE LAS CÓNICAS

Se verán a continuación 6 teoremas. Se observa que se pueden agrupar por "parejas" según una relación de dualidad. Por ejemplo:

Teorema de Steiner. Rectas homólogas de dos haces proyectivos se cortan en una cónica.
Teorema de Chasles. Puntos homólogos bajo una homografía entre los puntos de dos rectas se unen por rectas tangentes a una cónica.

Otra pareja:

Teorema de Pascal. Los tres pares de lados opuestos en un hexágono inscrito en una cónica se cortan en puntos alineados.


Teorema de Brianchon. Los tres pares de vértices opuestos en un hexágono circunscrito en una cónica se unen mediante rectas concurrentes.


Otra pareja:

Teorema de Desargues. Los puntos de intersección de una recta dada con una cónica que pasa por cuatro puntos dados están relacionados mediante una involución, o dicho de otra manera, las cónicas que pasan por cuatro puntos cortan a una recta en puntos en involución.
Teorema de Sturm. Las tangentes por un punto fijo a una cónica que es tangente a cuatro rectas dadas están relacionadas mediante una involución.

Y otra pareja de teoremas cuyos nombres no conservo:

Teorema. Dadas una cónica y una recta, la aplicación que asigna a cada punto de la recta, la intersección de su polar con la recta es una involución de puntos.
Teorema. Dados una cónica y un punto, la aplicación que asigna a cada recta que pasa por el punto la que une su polo con el punto es una involución de rectas.


Definición. Dada una cónica y dos de sus diámetros (segmentos cuyos extremos son puntos de la cónica y pasan por su centro) se dice que éstos son conjugados si la paralela a uno de ellos por uno de los extremos del otro es tangente a la cónica. En ese caso, las direcciones que definen también se dicen conjugadas.

Teorema. Cualquier cuerda de una cónica tiene su punto medio sobre el diámetro conjugado al paralelo a la cuerda.


Teorema de Apolonio. Si \( a' \) y \( b' \) son dos diámetros conjugados, \( \alpha \) el ángulo que forman y \( a \) y \( b \) sus ejes principales, se cumple que: \( ab=a'b'\sin\alpha \) y que \( a^2+b^2=a'^2+b'^2 \)

Teorema. Si AB es un diámetro de una cónica y C es un punto cualquiera, las cuerdas AC y BC definen direcciones conjugadas y se llaman cuerdas suplementarias.

Teorema. La aplicación que asigna a cada diámetro de una cónica su conjugado es una involución.

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