Autor Tema: La elipse

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27 Agosto, 2019, 12:12 am
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martiniano

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PROPIEDADES MÉTRICAS DE LA ELIPSE

Nomenclatura

En lo sucesivo llamaré \( a \) al semieje mayor de la elipse, \( b \) a su semieje menor y \( c \) a su semidistancia focal. \( F_1 \) y \( F_2 \) serán sus focos. Se cumple \( a^2=b^2+c^2 \)

Circunferencia focal en uno de los focos

Es la circunferencia de radio \( 2a \) y de centro el foco.

Circunferencias principales de la elipse

Son las circunferencias que tienen el mismo centro que la elipse y como radio cada uno de los semiejes. Permiten hallar puntos de la elipse utilizando las rectas que pasan por el centro tal y como muestra el dibujo. de abajo:


Tangente a una elipse en uno de sus puntos, \( M \)

Los ángulos que forma la tangente con las rectas \( F_1M \) y \( F_2M \) son iguales, luego para hallar la tangente basta con hacer la bisectriz del ángulo \( \widehat{F_1MF_2} \) y luego perpendicular a la misma por \( M \).


Tangente a una elipse desde un punto \( P \) exterior

El simétrico de \( F_1 \) con respecto a la tangente está en la circunferencia focal de \( F_2 \). Por lo que el problema se puede resolver trazando una circunferencia con centro en \( P \) y radio \( PF_1 \). Las intersecciones de esas circunferencia con la focal de \( F_2 \) son los simétricos de F_1 con respecto a cada una de las tangentes.


Si el punto es impropio substituir la circunferencia de radio \( PF_1 \) por la perpendicular por \( F_1 \) a la dirección que define el punto impropio.


27 Agosto, 2019, 12:18 am
Respuesta #1

martiniano

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Intersección de una recta \( r \) con una elipse

Sea \( M \) el punto de corte. La circunferencia \( C \) de centro \( M \) y radio \( MF_1 \) será tangente a la circunferencia focal de \( F_2 \). Al ser \( r \) diámetro de \( C \), el simétrico de \( F_1 \) con respecto a \( r \) también estará en la circunferencia y luego el problema queda reducido a un problema de Apolonio PPC.


Intercambiando los papeles de \( F_1 \) y \( F_2 \) se obtendría la otra intersección.

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