Autor Tema: Involuciones

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23 Agosto, 2019, 09:42 pm
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martiniano

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INVOLUCIONES

Una homografía \( f \) de un conjunto en sí mismo es una involución si \( f\circ{f}=Id \), o si se prefiere \( f^{-1}=f \)

Teorema. Las circunferencias que pasan por dos puntos fijos cortan a una recta en puntos que están en involución.

Puntos dobles de una involución de puntos situados sobre una recta \( r \).

El teorema anterior permite reducir el problema de hallar los puntos dobles de una involución de la que se cononcen dos pares de puntos homólogos al problema de Apolonio PPR. En efecto, si tenemos los pares de puntos homólogos \( (A,A') \) y \( (B,B') \) sobre una misma recta \( r \) basta con empezar dibujando una circunferencia arbitraria que pase por \( \Gamma_1 \) que pase por \( A \) y por \( A' \) y luego otra, \( \Gamma_2 \),  que pase por \( B \) y por \( B' \) y que corte a \( \Gamma_1 \) en dos puntos cualesquiera \( P_1 \) y \( P_2 \). Entonces, los puntos de tangencia de \( r \) con las circunferencias tangentes a \( r \) que pasan \( P_1 \) y \( P_2 \) son los puntos dobles de la involución.


Centro de una involución de puntos sobre una misma recta.

Se llama centro de una involución de puntos sobre una recta al punto homólogo del punto impropio de la recta.

Observar que, en el dibujo anterior, el eje radical de las circunferencias corta a la recta sobre la que está definida la involución en \( O \), el centro de la misma.

Rectas principales de una involución de rectas concurrentes en un punto \( V \).

Las rectas principales de una involución son aquéllas rectas homólogas que son perpendiculares. Supongamos que se tienen dos pares de rectas homólogas \( a,a' \) y \( b,b' \). Se considera una recta \( r \) paralela a \( b' \) cuyas intersecciones con las otras tres rectas serán \( A,A' \) y \( B \) respectivamente. Sobre \( r \) se tiene, entonces, una involución de puntos definida por el par \( A,A' \) y el centro \( B \). Se traza por \( B \) una perpendicular a \( r \) que corta a la circunferencia que pasa por \( A,A' \) con centro en \( r \) en los puntos \( M \) y \( N \). La circunferenncia que pasa por \( M \), \( M \) y \( V \) corta a \( r \) en puntos de cada una de las rectas principales buscadas. Parece muy complicado, pero con un dibujo se ve bastante más claro:


Rectas dobles de una involución de rectas concurrentes en un punto \( V \).

Hay que considerar una recta que no pase por \( V \) con la involución que definen las intersecciones de esta recta con las del haz con vértice \( V \). Las rectas dobles buscadas pasan por los puntos dobles de dicha involución.

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