Autor Tema: Vectores unitarios

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22 Agosto, 2019, 06:12 pm
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TheMagi

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Vector arbitrario \( \vec{a} \)
Vector unitario \( \hat{n} \)

\( \vec{a}=(\vec{a}\cdot{}\hat{n}) \hat{n}+(\hat{n}\times{}\vec{a}) \times{} \hat{n} \)

22 Agosto, 2019, 09:43 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

No sé muy bien qué necesitas sobre esta expresión. Es verdadera. Para demostrarlo tal vez puedas utilizar que, si \( \cdot{} \) y \( \times{} \) son los productos escalar y vectorial usuales en \( \mathbb{R^3} \), se cumple que:

\( (\vec{u}\times{\vec{v}})\times{\vec{w}}=(\vec{u}\cdot{\vec{w}})\vec{v}-(\vec{v}\cdot{\vec{w}})\vec{u} \)

Esto se puede demostrar a partir de las expresiones analíticas de los productos vectorial y escalar.

Un saludo.

23 Agosto, 2019, 01:49 am
Respuesta #2

ingmarov

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Hola

Una forma un poco "fea" de verlo.

Spoiler
Vector arbitrario \( \vec{a} \)
Vector unitario \( \hat{n} \)

\( \vec{a}=(\vec{a}\cdot{}\hat{n}) \hat{n}+(\hat{n}\times{}\vec{a}) \times{} \hat{n} \)

A ver

Si \( \theta \) es el ángulo entre los vectores a y n

\( \vec{a}\cdot \widehat{n}=|\vec{a}|\; cos(\theta) \)

\( (\vec{a}\cdot \widehat{n})\widehat{n}=a\; cos(\theta)\widehat{n} \).      Proyección de a sobre u.


\( (\widehat{n}\times\vec{a})=|\vec{a}sen(\theta)|\widehat{m} \).   m vector unitario perpendicular a los vectores n y a.

\( (\widehat{n}\times\vec{a})\times\widehat{n}=|\vec{a}\; sen(\theta)|(\widehat{m}\times\widehat{n}) \)

\( \widehat{m}\times\widehat{n} \) este vector es perpendicular a n y además es paralelo al plano generado por a y n (a y n no paralelos) .

Por lo que

\( |\vec{a}\; sen(\theta)|(\widehat{m}\times\widehat{n}) \) proyección ortogonal de a sobre n


Lo que tenemos aquí \( \vec{a}=(\vec{a}\cdot{}\hat{n}) \hat{n}+(\hat{n}\times{}\vec{a}) \times{} \hat{n} \)  es la descomposición de a como la suma dos vectores su proyección sobre n y su proyección ortogonal sobre n.
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Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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