Autor Tema: Ecuación paramétrica

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13 Agosto, 2019, 08:03 pm
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natydlv

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Hola compañeros, me podrán ayudar con este ejercicio? Saludos

"Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto \( P(7,-2,9) \) y es perpendicular a \( (x,y,z)=(-4,2,0)+a(1,5,-2) \)"

Avances:

se me ocurrió considerar un punto \( Q(m,n,p) \)
luego el vector que pasa por P y Q: \( \vec{PQ}=(Q-P)=(m,n,p)-(7,-2,9)=(m-7,n+2,p-9) \)
luego para que sean perpendiculares el producto entre \( \vec{PQ} \) y \( (m-7,n+2,p-9) \) debe ser igual a \( 0 \):

\( (m-7,n+2,p-9)\cdot{[(-4,2,0)+a(1,5,-2)}]=0 \)

y de aquí no se como continuar


13 Agosto, 2019, 09:32 pm
Respuesta #1

AlexFeynman

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Si \( \overrightarrow{PQ} \) es el vector director de la recta, entonces como dices, el producto escalar de los vectores directores tiene que ser 0, \( <1,5,-2>\cdot{<m-7,n+2,p-9>}=0 \). Además, si la única condición es que sean perpendiculares, sin importar que se corten, la solución son infinitas rectas que pasan por \( P \).

13 Agosto, 2019, 10:20 pm
Respuesta #2

robinlambada

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Hola:
Hola compañeros, me podrán ayudar con este ejercicio? Saludos

"Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto \( P(7,-2,9) \) y es perpendicular a \( (x,y,z)=(-4,2,0)+a(1,5,-2) \)"

Avances:

se me ocurrió considerar un punto \( Q(m,n,p) \)
luego el vector que pasa por P y Q: \( \vec{PQ}=(Q-P)=(m,n,p)-(7,-2,9)=(m-7,n+2,p-9) \)
luego para que sean perpendiculares el producto entre \( \vec{PQ} \) y \( (m-7,n+2,p-9) \) debe ser igual a \( 0 \):

\( (m-7,n+2,p-9)\cdot{[(-4,2,0)+a(1,5,-2)}]=0 \)



Otra forma parecida.

Como en 3 dimensiones existen infinitas rectas perpendiculares a otra dada, ( de hecho todas forman un plano)

Puedo quedarme con cualquier vector perpendicular al dado \( (1,5,-2) \) ,

En dos dimensiones es muy fácil \( (a,b)\perp{}(b,-a) \) , pues \( a\cdot{}b-b\cdot{a}=0 \)

Para tres dimensiones se puede hacer algo parecido. \( (a,b,c)\perp{}(b,-a,0) \), esta es una de las infinitas posibilidades.

Por tanto  \( (5,-1,0)\perp{}(1,5,-2) \) ya que \( 5\cdot{}1-1\cdot{}5+0\cdot{}(-2)=0 \)

Por ello una solución inmediata es:

\( s: (7,-2,9)+t(5,-1,0)  \)

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

14 Agosto, 2019, 06:09 am
Respuesta #3

delmar

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Hola

El problema sería más interesante, si la recta no solo es perpendicular; sino que también la intersecta.


Saludos

19 Agosto, 2019, 10:06 pm
Respuesta #4

natydlv

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gracias compañeros, luego de revisar bien la consigna note que me confundí con algo. La recta que pasa por P debe ser perpendicular a una recta mas, la cual yo estaba considerando como un segundo ejercicio. Actualizo la consigna...

"Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto \( P(7,-2,9) \) y es perpendicular a \( (x,y,z)=(-4,2,0)+a(1,5,-2) \) y también es perpendicular a la recta \( \displaystyle\frac{x-2}{2}=\displaystyle\frac{y}{-2}=\displaystyle\frac{z+3}{3} \)"

entonces voy a llamar:

\( R_0 \) a la recta que pasa por \( P \)
\( R_1:(x,y,z)=(-4,2,0)+a(1,5,-2) \)
\( R_2:(x,y,z)=(2,0,-3)+a(2,-2,3) \)

ahora me resulta todavía mas confuso, alguna ayuda? Gracias

19 Agosto, 2019, 11:19 pm
Respuesta #5

ingmarov

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Hola
Solución en el spoiler.
Spoiler
A ver

Primero encuentro un vector que sea perpendicular a la primera recta que apunte desde el punto dado hayas punto de la recta.

Sea Q(-4,2,0) un punto de la recta, y

\( \vec{u}=\vec{PQ}=(-4-7,2-(-2),-9)=(-11,4,-9) \)


La magnitud del vector director de la recta es

\( |\vec{d}|=\sqrt{30} \)


El vector deseado es:

\( \vec{v}=\vec{u}-\dfrac{\vec{d}\cdot\vec{u}}{|\vec{d}|^2}\cdot\vec{d}=(-11,4,-9)-(\frac{9}{10})(1,5,-2)=(-\frac{119}{10},-\frac{1}{2},-\frac{36}{5}) \)

Hasta aquí es suficiente para resolver, este vector es el director de la recta buscada.




El punto en la recta es(el punto de cruce)


\( \vec{P}+\vec{v}=(-\frac{49}{10},-\frac{5}{2},\frac{9}{5}) \)

Ahora con dos puntos conocidos P (ó con el vector \( \vec{v} \) y P)y este último es fácil encontrar la recta que cumpla la primera condición.

Revisa


La segunda parte, no la entiendo

...y también \( \displaystyle\frac{x-2}{2}=\displaystyle\frac{y}{-2}=\displaystyle\frac{z+3}{3} \)"

...

Ahora con lo que añadiste, comprueba que la recta que encontré se cruza con la segunda recta, si no el problema no tiene solución.
[cerrar]
Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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19 Agosto, 2019, 11:28 pm
Respuesta #6

AlexFeynman

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Si el vector director de la recta que buscas es  \( dr_0 \) y los que tienes son \( dr_1 \) y
 \( dr_2 \), se tiene que cumplir \( dr_0 \cdot{dr_1}=0 \)  y   \( dr_0 \cdot{dr_2}=0 \).

20 Agosto, 2019, 09:57 am
Respuesta #7

robinlambada

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Lo más sencillo, si puedes usar el producto vectorial, es obtener el vector director de la recta como producto vectorial de los vectores directores de las otras dos.
La ec. vectorial es :

\( (x,y,z)=P+(1,5,-2)×(2,-2,3) \)

Saludos.
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20 Agosto, 2019, 06:00 pm
Respuesta #8

ingmarov

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Lo más sencillo, si puedes usar el producto vectorial, es obtener el vector director de la recta como producto vectorial de los vectores directores de las otras dos.
La ec. vectorial es :

\( (x,y,z)=P+(1,5,-2)×(2,-2,3) \)

Saludos.

Es cierto, es más sencillo. Naty deberá probar que la recta que pasa por P y tiene ese vector director pasa por las dos rectas dadas.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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20 Agosto, 2019, 10:26 pm
Respuesta #9

robinlambada

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Lo más sencillo, si puedes usar el producto vectorial, es obtener el vector director de la recta como producto vectorial de los vectores directores de las otras dos.
La ec. vectorial es :

\( (x,y,z)=P+(1,5,-2)×(2,-2,3) \)

Saludos.

Es cierto, es más sencillo. Naty deberá probar que la recta que pasa por P y tiene ese vector director pasa por las dos rectas dadas.

Saludos
No pide en el enunciado que la recta pase por las otras dos. Toda recta queda totalmente caracterizada por un punto y un vector director, que pasase por las otras 2 rectas sería una carambola extra, que no afecta a la resolución del problema.

Saludos.
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