Autor Tema: Espacio Producto

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

14 Mayo, 2019, 09:00 pm
Leído 751 veces

Carlei

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 87
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
1. Sea [texx] \left(\Omega_i, \Gamma_i \right)_{i \in I}[/texx], una familia (arbitraria) de espacios topologicos, entonces se cumple:

 [texx] \left( \mathcal{V}\right)_{i \in I} \Gamma_i [/texx]= [texx] \tau \left ( \bigcup_{J \in H(I)} \displaystyle\bigcap_{j \in J} (\pi_i)^{-1}(\Gamma_j)\right )  [/texx].

Donde H(I) representa el sistema de todos los subconjuntos finitos de I y [texx]\left( V\right)_{i \in I} \Gamma_i [/texx] es la topologia 'mas pequeña' que hace continua a todas las proyecciones.



15 Mayo, 2019, 11:09 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,034
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

1. Sea [texx] \left(\Omega_i, \Gamma_i \right)_{i \in I}[/texx], una familia (arbitraria) de espacios topologicos, entonces se cumple:

 [texx] \left( \mathcal{V}\right)_{i \in I} \Gamma_i [/texx]= [texx] \tau \left ( \bigcup_{J \in H(I)} \displaystyle\bigcap_{j \in J} (\pi_i)^{-1}(\Gamma_j)\right )  [/texx].

Donde H(I) representa el sistema de todos los subconjuntos finitos de I y [texx]\left( V\right)_{i \in I} \Gamma_i [/texx] es la topologia 'mas pequeña' que hace continua a todas las proyecciones.

 Considera el espacio producto:

\(  X=\displaystyle\prod_{i\in I}\Omega_i \)

 y las proyecciones:

\(  \pi_i:X\to \Omega_i \)

 Entiendo que por \( \tau(F) \), siendo \( F \) una familia de conjuntos se refiere a la topología que tiene a \( F \) como base.

 En tu caso:

\(  F=\bigcup_{J \in H(I)} \displaystyle\bigcap_{j \in J} (\pi_i)^{-1}(\Gamma_j) \)

 es la familia de subconjuntos de \( X \) formada por todas las posibles intersecciones finitas de imagenes recíprocas por cada proyección de abiertos de los correspondientes espacios.

 Comprueba:

 1) Que \( F \) son una base para una topología.

 2) Que esa topología hace continuas las proyecciones. Basta tener en cuenta que para que:

\(  \pi_i:X\to \Omega_i \)

 sea continua, dado \( V \) abierto en \( \Omega_i \) tiene que cumplirse que \( \pi_i^{-1}(V) \) tiene que ser abierto en \( X \). Pero por definición \( \pi_i^{-1}(V) \) es un abierto básico de nuestra familia \( F \).

 3) Que si \( \tau' \) es otra topología en \( X \) que hace continuas las proyecciones entonces \( F\subset \tau. \) Para ello ten en cuenta que todo elemento de \( F \) es intersección finita de conjuntos  \( \pi_i^{-1}(V_i) \) con \( V_i \) abierto en \( \Omega_i \). Pero entonces tales conjuntos son abiertos de \( \tau' \) (porque esa topología hace continuas las proyecciones) y la intersección finita de abiertos es abierta.

Saludos.