Autor Tema: Producto libre y grupo fundamental

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

13 Mayo, 2019, 07:53 am
Leído 694 veces

mathsandphysics

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 175
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola,
Supongo que debo de tener oxidado el tema o no entiendo bien el producto libre de grupos.
Primero de todo dice que si \( S \) es una 2-esfera tal que \( (S^1 \times S^2 ) \setminus S \) lo separa en dos componentes conexas \( M,N \), entonces

\( \mathbb{Z}=\pi_1(S^1 \times S^2 )\cong \pi_1(M) *\pi_1(N) \)

esto entiendo que es una consecuencia de Seifert van Krampen, ya que \( M,N \) son disjuntos. ¿No?
Luego sigue diciendo que ha de ser que uno de los dos grupos fundamentales \( \pi_1(M) \) o \(  \pi_1(N) \) ha de ser el trivial. ¿Esto por qué es? ¿Que el producto libre de dos grupos sea \( \mathbb{Z} \) siempre implica que uno es el trivial y el otro \( \mathbb{Z} \) ?

Saludos y muchas gracias

13 Mayo, 2019, 08:39 am
Respuesta #1

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,343
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola,
Supongo que debo de tener oxidado el tema o no entiendo bien el producto libre de grupos.
Primero de todo dice que si \( S \) es una 2-esfera tal que \( (S^1 \times S^2 ) \setminus S \) lo separa en dos componentes conexas \( M,N \), entonces

\( \mathbb{Z}=\pi_1(S^1 \times S^2 )\cong \pi_1(M) *\pi_1(N) \)

esto entiendo que es una consecuencia de Seifert van Krampen, ya que \( M,N \) son disjuntos. ¿No?
Es por Seifert-van Kampen, aunque hay que ir con un poco de cuidado al aplicarlo. Seifert-van Kampen requiere que tengas dos abiertos cuya intersección es arco-conexa y contiene al punto base, así que en principio no se puede aplicar directamente a dos conjuntos disjuntos. Lo que debes hacer aquí es tomar un entorno tubular \( T \) de \( S \) y considerar los abiertos \( M \cup T \) y \( N \cup T \). Como cada uno de estos abiertos se retrae al abierto original, y su intersección \( T \) se retrae a \( S \), puedes usar Seifert-van Kampen para deducir que el grupo fundamental es el producto libre.

Citar
Luego sigue diciendo que ha de ser que uno de los dos grupos fundamentales \( \pi_1(M) \) o \(  \pi_1(N) \) ha de ser el trivial. ¿Esto por qué es? ¿Que el producto libre de dos grupos sea \( \mathbb{Z} \) siempre implica que uno es el trivial y el otro \( \mathbb{Z} \) ?
Sí. Si tienes un producto libre de grupos \( G * H \), puedes meter tanto \( G \) como \( H \) como subgrupos de \( G * H \). Si \( G * H \) es isomorfo a \( \Bbb Z \), tienes que tanto \( G \) como \( H \) deben ser isomorfos a un subgrupo de \( \Bbb Z \). Como los subgrupos de \( \Bbb Z \) son isomorfos bien a \( \Bbb Z \) bien al grupo trivial, tienes tres posibilidades: tanto \( G \) como \( H \) son triviales (imposible, pues entonces \( G * H \) sería trivial), tanto \( G \) como \( H \) son isomorfos a \( \Bbb Z \) (imposible, pues entonces \( G * H \) sería un grupo libre en dos generadores) o uno de \( G,H \) es \( \Bbb Z \) y el otro trivial, que era lo que buscábamos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)