Autor Tema: Historia de la característica y la clase de Euler

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10 Abril, 2019, 04:20 am
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GMat

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Buenas a todos, no se si esta pregunta va en esta sección pero no vi nada como una sección de historia de las matemáticas o algo parecido. Lo que quiero consultarle es lo siguiente: La historia de la formula de Euler es posiblemente conocida para muchos, yo conseguí su historia en el libro "mathematics and its history" de Jhon Stillwell (muy buen libro por cierto). Ahora estudiando de libros como el de Isodore Singer de topología algebraica aparece una definición diferente, en este libro aparece la característica de grafo (complejo simplicial de dimensión no mayor que dos) como el numero de vértices menos el numero de 1-simplex del grafo. Si uno se va un poco mas allá puede encontrarse con el objeto llamado "clase de Euler" que pertenece a las clases características. Lo que me gustaría saber es donde puedo conseguir la historia de la evolución de la característica de Euler, ya conozco la parte referente a la formula de Euler y la caracteristica de Euler para superficies, asi que estoy mas interesado en saber de donde nace el estudio de la característica de Euler para complejos simpliciales y el origen de la clase de Euler

Gracias de antemano

10 Abril, 2019, 01:28 pm
Respuesta #1

geómetracat

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No sé mucho sobre la historia moderna de la característica de Euler, tal vez puedas encontrar algo en el libro de Dieudonné de historia de la topología algebraica.

Pero me gustaría decir un par de cosas que igual te pueden ayudar a acotar la búsqueda. La primera es que la definición más general de característica de Euler de un espacio topológico \( X \) es la suma alternada de sus números de Betti (donde los números de Betti de \( X \) son \( b_i = rk \, H_i(X, \mathbb{Z}) \)). Es probable que Poincaré tenga algo que ver con esta definición, pues fue él quien introdujo el uso de los números de Betti (aunque la primera que introdujo los grupos de homología y vio los números de Betti como rangos de grupos abelianos fue Emmy Noether).

El otro tema es el de la clase de Euler (a veces se llama de Euler-Poincaré). Esto es como dices una clase característica de un fibrado vectorial \( V \rightarrow X \) orientable de rango par. El nombre viene del hecho de que puedes calcular la característica de Euler de una variedad diferenciable \( M \) haciendo el producto de Kronecker de la clase de Euler del fibrado tangente con la clase fundamental de la base (suponiendo que todo tiene sentido, es decir, base orientable y compacta): \( \chi(M) = \langle e(TM), [ M ] \rangle \). Esto debe ser más moderno. El concepto de fibrado debe datar de alrededor de 1930 o 1940. La definición moderna de clase de Euler usa el isomorfismo de Thom, así que debe ser posterior al famoso artículo de Thom "Quelques propriétés globales des variétés différentiables" (o quizás en ese artículo está ya la definición).

De todas maneras, ánimo con tu búsqueda. En mi experiencia es bastante difícil saber con precisión el origen de conceptos y definiciones matemáticos, aún más si son modernos. Curiosamente mucha gente se preocupa por la historia de las matemáticas pre-siglo XX, pero no tanta por la historia moderna. El único libro que conozco sobre esto es el que te he dicho antes de Dieudonné.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)