[Eparoh]

Hola, estudiando un ejemplo sobre como es necesario en el teorema de la aplicación abierta que ambos espacios sean de Banach, definimos \( Y \) un espacio de Banach separable de dimensión infinita y, si es \( \{e_i\}_{i \in I} \) una base de Hamel no numerable del espacio tal que cada vector tiene norma unidad, definimos una nueva norma sobre Y como

\(  \left\|{x}\right\|_1=\sum_{i \in I}{\left |{a_i}\right |} \)

siendo \( x=\sum_{i \in I}{a_i e_i} \) (donde los coeficientes \( a_i \) serán nulos salvo en un número finito de casos).

Mi problema es que se supone que \( Y \) con esta nueva norma es el espacio que no es de Banach, el cual nos servirá para el contraejemplo que queremos dar, pero no consigo ver porque  por qué no lo es.
¿Alguna idea?

Un saludo, y muchas gracias por las respuestas.

[Luis Fuentes]

Hola

 Escoge un subconjunto \( \{e_{i_j}\} \), con \( j\in \mathbb{N} \), numerable de la base.

 Toma:

\(  x_k=\displaystyle\sum_{j=1}^k{}\dfrac{1}{2^j}e_{i_j} \)

 Comprueba que la sucesión \( \{x_k\} \) es de Cauchy pero no es convergente.

Saludos.

[Eparoh]

Hola, muchas gracias.

Para ver que es una sucesión de Cauchy he desarrollado como sigue.
Sea \( \varepsilon >0 \), \( n, m \in \mathbb{N} \), sin pérdida de generalidad, \( n>m \), entonces

\(  \left\|{x_n - x_m}\right\|_1= \left\|{\displaystyle\sum_{j=1}^n{\dfrac{1}{2^j} e_{i_j}}} - {\displaystyle\sum_{j=1}^m{\dfrac{1}{2^j} e_{i_j}}}\right\|_1= \left\|{\displaystyle\sum_{j=m+1}^n{\dfrac{1}{2^j} e_{i_j}}}\right\|_1=\displaystyle\sum_{j=m+1}^n{\dfrac{1}{2^j}} \)

y como la serie \( \displaystyle\sum_{j=1}^\infty{\frac{1}{2^j}} \) converge en \( \mathbb{R} \), debe cumplir el criterio de Cauchy, por lo que existe un cierto \( n_0 \in \mathbb{N} \) tal que

\( \displaystyle\sum_{j=m+1}^n{\dfrac{1}{2^j}} < \varepsilon \)

para cada \( n>m \geq n_0 \).
Con esto, efectivamente la sucesión \( \{x_n\} \) es de Cauchy.

Ahora, respecto a la convergencia, en primer lugar es claro que \( \{x_k\} \) no converge al elemento neutro pues para todo \( n \geq 1 \)

\(  \left\|{x_n}\right\|_1=\displaystyle\sum_{j=1}^n{\dfrac{1}{2^j}} \geq \dfrac{1}{2} \)

Ahora, sea \( x \in Y \), no nulo, entonces para un cierto subconjunto finito de la base, \( \{e'_1, \cdots, e'_k\} \), y ciertos escalares, no nulos, \( \{a_1, \cdots, a_k\} \), se podra expresar como

\( x=\displaystyle\sum_{i=1}^k{a_i e'_i} \)

Así, sea \( n_0>k \), de modo que \( \frac{1}{2^{n_0-k+1}}<\max\{\left |{a_1}\right |, \cdots, \left |{a_k}\right |\} \), entonces para cualquier \( n>n_0 \) se cumple

\(  \left\|{x_n -x}\right\|_1=\left\|{\displaystyle\sum_{j=1}^n{\dfrac{1}{2^j} e_{i_j}}} - {\displaystyle\sum_{j=1}^k{a_j e'_j}}\right\|_1 \geq \left |{ \left\|{{\displaystyle\sum_{j=1}^n{\dfrac{1}{2^j} e_{i_j}}}}\right\|_1 -  \left\|{{\displaystyle\sum_{j=1}^k{a_j e'_j}}}\right\|_1}\right |=\\=\left |{\displaystyle\sum_{j=1}^n{\dfrac{1}{2^j}} - \displaystyle\sum_{j=1}^k{\left |{a_j}\right |}}\right | > \left |{\displaystyle\sum_{j=1}^k{\dfrac{1}{2^{n-k+j}}}-\left |{a_j}\right |}\right |=\displaystyle\sum_{j=1}^k{\left |{a_j}\right |-\dfrac{1}{2^{n-k+j}}} >\\>\left |{a_1}\right |-\dfrac{1}{2^{n-k+1}}>\left |{a_1}\right | >0 \)

y, por tanto, \( \{x_k\} \) no puede converger a \( x \).

¿Es correcto?
Un saludo, y muchas gracias por todo.

[Luis Fuentes]

Hola

Para ver que es una sucesión de Cauchy he desarrollado como sigue.
Sea \( \varepsilon >0 \), \( n, m \in \mathbb{N} \), sin pérdida de generalidad, \( n>m \), entonces

\(  \left\|{x_n - x_m}\right\|_1= \left\|{\displaystyle\sum_{j=1}^n{\dfrac{1}{2^j} e_{i_j}}} - {\displaystyle\sum_{j=1}^m{\dfrac{1}{2^j} e_{i_j}}}\right\|_1= \left\|{\displaystyle\sum_{j=m+1}^n{\dfrac{1}{2^j} e_{i_j}}}\right\|_1=\displaystyle\sum_{j=m+1}^n{\dfrac{1}{2^j}} \)

y como la serie \( \displaystyle\sum_{j=1}^\infty{\frac{1}{2^j}} \) converge en \( \mathbb{R} \), debe cumplir el criterio de Cauchy, por lo que existe un cierto \( n_0 \in \mathbb{N} \) tal que

\( \displaystyle\sum_{j=m+1}^n{\dfrac{1}{2^j}} < \varepsilon \)

para cada \( n>m \geq n_0 \).
Con esto, efectivamente la sucesión \( \{x_n\} \) es de Cauchy.

Bien.

Ahora, respecto a la convergencia, en primer lugar es claro que \( \{x_k\} \) no converge al elemento neutro pues para todo \( n \geq 1 \)

\(  \left\|{x_n}\right\|_1=\displaystyle\sum_{j=1}^n{\dfrac{1}{2^j}} \geq \dfrac{1}{2} \)

Ahora, sea \( x \in Y \), no nulo, entonces para un cierto subconjunto finito de la base, \( \{e'_1, \cdots, e'_k\} \), y ciertos escalares, no nulos, \( \{a_1, \cdots, a_k\} \), se podra expresar como

\( x=\displaystyle\sum_{i=1}^k{a_i e'_i} \)

Así, sea \( n_0>k \), de modo que \( \frac{1}{2^{n_0-k+1}}<\max\{\left |{a_1}\right |, \cdots, \left |{a_k}\right |\} \), entonces para cualquier \( n>n_0 \) se cumple

\(  \left\|{x_n -x}\right\|_1=\left\|{\displaystyle\sum_{j=1}^n{\dfrac{1}{2^j} e_{i_j}}} - {\displaystyle\sum_{j=1}^k{a_j e'_j}}\right\|_1 \geq \left |{ \left\|{{\displaystyle\sum_{j=1}^n{\dfrac{1}{2^j} e_{i_j}}}}\right\|_1 -  \left\|{{\displaystyle\sum_{j=1}^k{a_j e'_j}}}\right\|_1}\right |=\\=\color{red}\left |{\displaystyle\sum_{j=1}^n{\dfrac{1}{2^j}} - \displaystyle\sum_{j=1}^k{\left |{a_j}\right |}}\right | > \left |{\displaystyle\sum_{j=1}^k{\dfrac{1}{2^{n-k+j}}}-\left |{a_j}\right |}\right |\color{black}=\displaystyle\sum_{j=1}^k{\left |{a_j}\right |-\dfrac{1}{2^{n-k+j}}} >\\>\left |{a_1}\right |-\dfrac{1}{2^{n-k+1}}>\left |{a_1}\right | >0 \)

y, por tanto, \( \{x_k\} \) no puede converger a \( x \).

No veo clara la desigualdad que marco en rojo.

Hay una forma rápida de ver la NO convergencia. Ten en cuenta que  para cualquier:

\( x=\sum_{i \in I}{a_i e_i} \)

se cumple que:

\( |a_i|\leq \|x\|_1 \) (y por tanto para un par de elementos, \( |a_i'-a_i|\leq \|x'-x\|_1 \))

Se deduce que la convergencia de una sucesión \( \{x_n\} \) a \( x \) con esa norma \( 1 \) implica la convergencia puntual, es decir, las convergencia de cada coordenada \( (a_n)_i \) para cada \( i\in I \).

Pero si \( x \) fuese el límite de la sucesión dada, como sus coordenadas son nulas salvo un número finito, para algún \( j\in \mathbb{N} \) se cumple que su coordenada \( a_{i_j}=0 \); pero sin embarrgo el límite puntual de las coordenada \( i_j \) de los elementos de la sucesión \( \{x_n\} \) es \( \dfrac{1}{2^j}. \)

Saludos.

[Eparoh]

No veo clara la desigualdad que marco en rojo.

Si, creo que la desigualdad es errónea, no conté con el valor absoluto al hacerla :/

Hay una forma rápida de ver la NO convergencia. Ten en cuenta que  para cualquier:

\( x=\sum_{i \in I}{a_i e_i} \)

se cumple que:

\( |a_i|\leq \|x\|_1 \) (y por tanto para un par de elementos, \( |a_i'-a_i|\leq \|x'-x\|_1 \))

Se deduce que la convergencia de una sucesión \( \{x_n\} \) a \( x \) con esa norma \( 1 \) implica la convergencia puntual, es decir, las convergencia de cada coordenada \( (a_n)_i \) para cada \( i\in I \).

Pero si \( x \) fuese el límite de la sucesión dada, como sus coordenadas son nulas salvo un número finito, para algún \( j\in \mathbb{N} \) se cumple que su coordenada \( a_{i_j}=0 \); pero sin embarrgo el límite puntual de las coordenada \( i_j \) de los elementos de la sucesión \( \{x_n\} \) es \( \dfrac{1}{2^j}. \)

Saludos.

Mucho más sencillo y elegante, me ha quefado muy claro, muchas gracias 
Un saludo.