[Eparoh]

Hola, estoy intentando probar lo siguiente:

Sea \( U \) un abierto en \( \mathbb{R}^2 \) y \( K \subset U \) un conjunto compacto homeomorfo a una bola en \( \mathbb{R}^2 \), entonces existe un abierto \( V \) de \( \mathbb{R}^2 \), homeomorfo a una bola abierta, tal que \( K \subset V \subset U \).

No he conseguido llegar a nada la verdad, así que agradecería cualquier ayuda.
Un saludo, y gracias por las respuestas.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, estoy intentando probar lo siguiente:

Sea \( U \) un abierto en \( \mathbb{R}^2 \) y \( K \subset U \) un conjunto compacto homeomorfo a una bola en \( \mathbb{R}^2 \), entonces existe un abierto \( V \) de \( \mathbb{R}^2 \), homeomorfo a una bola abierta, tal que \( K \subset V \subset U \).

No he conseguido llegar a nada la verdad, así que agradecería cualquier ayuda.

Te esbozo una idea. Sin pérdida de generalidad y salvo traslación supón que \( (0,0)\in int(K) \).

 Dado que \( K \) es compacto y \( \Bbb R^2-U \) es cerrado se tiene que \( d(K,\Bbb R^2-U)>0 \). De ahí deduce que puedes encontrar un conjunto homotético a \( K \), \( K'=(1+\epsilon)K \) tal que \( K\subset K'\subset U \).

\( K' \) por ser homotético a \( K \) es homeomorfo a \( K \) y  entonces homeomorfo a una bola cerrada:

\( f:B_{cerrada}[(0,0),1]\to K' \) homeomorfismo

 Comprueba que el abierto \( V=f(B_{abierta}((0,0),1)) \), cumple lo deseado.

Saludos.

[Gustavo]

Hola,

Luis, ¿con \( (1+\varepsilon)K \) te refieres a la \( \varepsilon \)-vecindad de \( K \)? La notación (y el término "homotético") parecería indicar que es \( \{tv: v\in K, 0\leqslant t\leqslant 1+\varepsilon \} \) (que no creo que sea lo que querías, pues \( K \) puede ser "muy raro", lejos de convexidad).

Aún así, no veo muy claro cómo se podría formalizar la prueba con tu indicación.

[Luis Fuentes]

Hola

Luis, ¿con \( (1+\varepsilon)K \) te refieres a la \( \varepsilon \)-vecindad de \( K \)? La notación (y el término "homotético") parecería indicar que es \( \{tv: v\in K, 0\leqslant t\leqslant 1+\varepsilon \} \) (que no creo que sea lo que querías, pues \( K \) puede ser "muy raro", lejos de convexidad).

Si, era lo que quería: homotético. Pero efectivamente no funciona. No tenemos garantizado que \( K\subset (1+\epsilon)K \). De hecho no tiene porque darse, así que está mal.

Se me ocurre otra forma pero con artillería muy pesada: aplicando el Teorema de Jordan–Schoenflies.

Éste nos garantiza que si tenemos una curva de Jordan \( C \), tenemos un homeomorfismo del plano que lleva \( C \) en la circunferencia unidad.

En nuestro caso como \( K \) es un subconjunto del plano homeomofo a la bola cerrada, la imagen \( C \) en \( K \) de la circunferencia borde de la bola cerrada es una curva de Jordan. Entonces por el Teorema de Jordan-Schoenflies tenemos un homeomorfismo:

\( f:\Bbb R^2\to \Bbb R^2 \)

que lleva \( C \) en la esfera circunferencia unidad. De ahí es fácil ver que:

- \( f(K) \) es la bola cerrada unidad.
- \( f(U) \) es una abierto que contiene a la bola cerrada unidad \( f(K) \).
- puede tomarse  una bola abierta de radio \( r=1+\epsilon \) tal que f(K)\subset B((0,0),r)\subset f(U).
- finalmente el \( V \) buscado es \( f^{-1}(B((0,0),r) \)

De todas formas no se si Eparoh puede usar el teorema que he citado. En ese sentido sería bueno que indicase el contexto en el cuál le surge el problema y que resultados puede aplicar. Me cuesta creer que pueda probarse demasiado "a mano" sin usar algún resultado de cierto calado.

Saludos.

[Eparoh]

Hola, muchas gracias por las respuestas.
El contexto en el que me apareció la duda sobre esta proposición fue demostrando el teorema de Gauss-Bonnet para regiones regulares en superficies regulares orientables.
La forma de demostrarlo que hemos visto parte de establecer una familia de parametrizaciones ortogonales de la superficie, y una triangulación de ésta de modo que cada triángulo quede contenido en un entorno coordenado para alguna de las parametrizaciones (todo esto justificado previamente).
Todo esto lo realizamos para ahora poder aplicar a cada triangulo que es ya una región simple una versión local del teorema de Gauss-Bonnet previamente vista.
El problema me surge de que, para aplicar dicha versión local del teorema, se pide que el abierto sobre el que esté definida cada parametrización sea homeomorfo a un disco abierto en el plano.
Por eso, pensé en la proposición que aquí planteé, pues intuitivamente me parecía muy posible y dado que al aplicarle a cada triángulo la inversa de la parametrización correspondiente obtenemos un conjunto compacto y homeomorfo a un disco en el plano, a partir de la proposición dicha ya podría aplicar sin problemas el teorema local que he comentado.

(No se si me he explicado demasiado bien :/)

Respecto a poder emplear o no el teorema de Jordan-Schoenflies, dado que hemos empleado otros teoremas grandes de topología sin dar su demostración, no creo que sea un inconveniente, aunque resulte un poco insatisfactorio.

Un saludo, y de nuevo muchísimas gracias por su tiempo.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, muchas gracias por las respuestas.
El contexto en el que me apareció la duda sobre esta proposición fue demostrando el teorema de Gauss-Bonnet para regiones regulares en superficies regulares orientables.
La forma de demostrarlo que hemos visto parte de establecer una familia de parametrizaciones ortogonales de la superficie, y una triangulación de ésta de modo que cada triángulo quede contenido en un entorno coordenado para alguna de las parametrizaciones (todo esto justificado previamente).
Todo esto lo realizamos para ahora poder aplicar a cada triangulo que es ya una región simple una versión local del teorema de Gauss-Bonnet previamente vista.
El problema me surge de que, para aplicar dicha versión local del teorema, se pide que el abierto sobre el que esté definida cada parametrización sea homeomorfo a un disco abierto en el plano.
Por eso, pensé en la proposición que aquí planteé, pues intuitivamente me parecía muy posible y dado que al aplicarle a cada triángulo la inversa de la parametrización correspondiente obtenemos un conjunto compacto y homeomorfo a un disco en el plano, a partir de la proposición dicha ya podría aplicar sin problemas el teorema local que he comentado.

(No se si me he explicado demasiado bien :/)

No es que no te hayas explicado bien. Pero me cuesta hacerme una idea precisa de que se necesita exactamente y que no se necesita, para poder probar todo eso rigurosamente. No tengo clara en la cabeza como se ordenaban los resultados para consturir la demostración apoyándose en las anteriores. ¿No tienes un libro concreto que estés siguiendo?.

Mi impresión (pero es sólo una impresión) es que lo que has planteado en este hilo es más fuerte que lo que probablemente necesites para completar los detalles de tu demostración.

Respecto a poder emplear o no el teorema de Jordan-Schoenflies, dado que hemos empleado otros teoremas grandes de topología sin dar su demostración, no creo que sea un inconveniente, aunque resulte un poco insatisfactorio.

¿Por qué insatisfactorio?. 

Saludos.

[geómetracat]

No acabo de entender el problema yo tampoco.
Toma cartas homeomorfas a discos abiertos que recubran tu superfície. Ahora, puedes tomar una triangulación de manera que cada triángulo esté contenido en alguna de estas cartas (toma una triangulación cualquiera y ve haciendo subdivisiones baricéntricas hasta que los triángulos sean suficientemente pequeños). Ahora ya estás en la situación que buscas. No sé si se me está escapando algo.

[Eparoh]

Hola, muchísimas gracias por las respuestas.

No es que no te hayas explicado bien. Pero me cuesta hacerme una idea precisa de que se necesita exactamente y que no se necesita, para poder probar todo eso rigurosamente. No tengo clara en la cabeza como se ordenaban los resultados para consturir la demostración apoyándose en las anteriores. ¿No tienes un libro concreto que estés siguiendo?.

Mi impresión (pero es sólo una impresión) es que lo que has planteado en este hilo es más fuerte que lo que probablemente necesites para completar los detalles de tu demostración.

En teoría seguimos el libro "Geometría diferencial de curvas y superficies" de Manfreo doCarmo y "Un curso de geometría diferencial" de María de los Ángeles Hernández Cifre y José Antonio Pastor González, pero en ambos falta el detalle que busco, aunque tal vez falta porque es algo trivial como comenta geómetracat y yo no lo veo.

No acabo de entender el problema yo tampoco.
Toma cartas homeomorfas a discos abiertos que recubran tu superfície. Ahora, puedes tomar una triangulación de manera que cada triángulo esté contenido en alguna de estas cartas (toma una triangulación cualquiera y ve haciendo subdivisiones baricéntricas hasta que los triángulos sean suficientemente pequeños). Ahora ya estás en la situación que buscas. No sé si se me está escapando algo.

Si, como he dicho, pensándolo mejor es posible que se pueda solucionar de ésta o una forma parecida aunque había algo en la demostración que me hacía dudar de esto. Ahora mismo no tengo los apuntes a mano, pero mañana subo el comienzo de la demostración y concreto mejor la duda  y el porque de ésta 

Respecto a poder emplear o no el teorema de Jordan-Schoenflies, dado que hemos empleado otros teoremas grandes de topología sin dar su demostración, no creo que sea un inconveniente, aunque resulte un poco insatisfactorio.

¿Por qué insatisfactorio?. 

Me refería que me resulta un poco insatisfactorio emplear resultados los cuales no tengo previamente demostrados, aunque muchas veces por no disponer de suficiente tiempo no me queda otra

Un saludo, y de nuevo, gracias 

[Luis Fuentes]

Hola

 He echado un vistazo a la demostración del "do Carmo"; he subido las páginas en el PDF adjunto.

 En la introducción ya avisa de que usará algunos resultados topológicos sin demostración.

 De todas formas si he entendido bien, la objección que pones y que te llevó a plantear este hilo, se soluciona como indicó geómetracat.

Toma cartas homeomorfas a discos abiertos que recubran tu superfície. Ahora, puedes tomar una triangulación de manera que cada triángulo esté contenido en alguna de estas cartas (toma una triangulación cualquiera y ve haciendo subdivisiones baricéntricas hasta que los triángulos sean suficientemente pequeños). Ahora ya estás en la situación que buscas. No sé si se me está escapando algo.

 La clave es la frase en rojo; previamente a triangularizar tomar ya unas cartas definidas en abiertos homeomorfos a discos. Esto siempre puede hacerse; cualquier atlas de la superficie puede refinarse tomando en cada punto cartas más pequeñas sobre tales discos.

Saludos.

[Eparoh]

Esto siempre puede hacerse; cualquier atlas de la superficie puede refinarse tomando en cada punto cartas más pequeñas sobre tales discos.

Si, creo que esa es la solución que buscaba.
Si dado cualquier atlas siempre puede refinarse de esta forma (que ahora que lo pienso era muy sencillo de ver) entonces ya no hay ningún problema.

Muchísimas gracias por todas las respuestas y un gran saludo.