Autor Tema: Compactos

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05 Marzo, 2019, 05:04 pm
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RodriStone

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Buen día  a   todos,  tengo el  siguiente  problema  :

Probar  que  si \( X \) es  un  conjunto  compacto  , y  \( F \)  un  conjunto  cerrado  ,   la  intersección  entre  \( X \) y \( F \) es compacta
Editado
Mensaje corregido por moderador.

05 Marzo, 2019, 06:53 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Spoiler
Buen día / a  / todos /, / tengo / el / siguiente / problema / :

Probar / que / si / X / es / un / conjunto / compacto / , / y / F / un / conjunto / cerrado / ,  / la / intersección / entre / X / y / F es compacta
[cerrar]

Como \(  X \cap F \subset X  \) para todo recubrimiento de \( X \cap F  \) se pueden añadir abiertos para recubrir \(  X  \) y usar que \( X \) es compacto.
Editado lo que está en spoiler pensé en la topología usual.
Spoiler
Otro camino es que la intersección de cerrados es cerrado y tenemos que \( X \) es acotado por ser compacto.
[cerrar]

05 Marzo, 2019, 08:44 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Como \(  X \cap F \subset X  \) para todo recubrimiento de \( X \cap F  \) se pueden añadir abiertos para recubrir \(  X  \) y usar que \( X \) es compacto.

En concreto basta añadir el abierto \( F^c \) (complementario del cerrado \( F \)).

Saludos.

05 Marzo, 2019, 08:56 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Muchísimas / gracias / , me / sirvió / mucho / la / ayuda

No escribas barras entre las palabras. Simplemente pon así:

"Muchísimas gracias, me sirvió mucho la ayuda".

Por favor, corrige tu mensaje.

Saludos.

16 Noviembre, 2020, 07:33 pm
Respuesta #4

marinavzqz

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hola, yo tambien necesito este ejercicio, ¿podríais detallarlo un poco mas? no termino de entenderlo
muchas gracias

13 Febrero, 2021, 03:50 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

hola, yo tambien necesito este ejercicio, ¿podríais detallarlo un poco mas? no termino de entenderlo

No había visto esto. Aunque hace un poco de tiempo, completo la demostración.

Probar  que  si \( X \) es  un  conjunto  compacto  , y  \( F \)  un  conjunto  cerrado  ,   la  intersección  entre  \( X \) y \( F \) es compacta

Para ver que \( X\cap F \) es compacto tenemos que comprobar que de todo recubrimiento por abiertos de \( X\cap F \) se puede extraer un subrecubrimiento finito.

Sea \( \{U_\alpha\}_{\alpha\in A} \) un recubrimiento por abiertos de \( X\cap F. \)

Entonces:  \( \{U_\alpha\}_{\alpha\in A}\cup F^c \) es un recubrimiento por abiertos de \( X \) ya que \( F^c \) es abierto por ser el complementario de un cerrado.

Entonces existe un subrecubrimiento finito \( \{U_{\alpha_i}\}_{i=1,2,\ldots,n}\cup F^c \) de \( X \) y por tanto \( \{U_{\alpha_i}\}_{i=1,2,\ldots,n} \) es un subrecubrimiento finito de \( X\cap F \).

Saludos.