Autor Tema: Grupo fundamental espacio cociente

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21 Enero, 2019, 11:32 am
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Eparoh

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Hola a todos, tengo el siguiente ejercicio:

En \( \left(\mathbb{R}^2, \tau_u \right) \) se considera la relación de equivalencia:

\( (x,y) \sim (z,t) \Longleftrightarrow{} \begin{cases} y, t \in [-2,2] \\ y, t \not \in [-2,2] \end{cases} \)

Y pide determinar las clases de equivalencia y el espacio cociente, decir si este es  Hausdorff y/o conexo por caminos, y calcular el grupo fundamental del espacio en \( [(0,0)] \).

Las dos primeras preguntas creo que las se responder, obtengo que

\( \mathbb{R}^2/\sim=\left\{  [(0,0)], [(0,3)] \right\} \)

y que la topología cociente es

\( \tilde{\tau}=\left\{\mathbb{R}^2/\sim , \emptyset , \left\{ [(0,3)] \right\} \right\} \).

No es Hausdorff pues el único abierto que contiene a \( [(0,0)] \) es el espacio total, y es conexo por caminos pues tome la aplicación

\( \alpha(t)=\begin{cases} [(0,0)] & \text{si}& 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\
[(0,3)] & \text{si}& \frac{1}{2} < t \leq 1\end{cases} \)

que de ser continua sería el camino deseado entre ambos puntos del espacio, y que creo es continua pues

\( \alpha^{-1}\left( [(0,3)] \right)=\left( \frac{1}{2}, 1 \right]  \)

es abierto en \( [0,1] \).

Ahora bien, si todo esto es correcto, no se por donde empezar para calcular el grupo fundamental :/

Un saludo, y muchas gracias por sus respuestas.


21 Enero, 2019, 11:51 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Si no me equivoco puedes contraer el espacio a un punto.

 Por quitar ruido, tenemos \( X=\{a,b\} \) con la topología \( \{\emptyset,\{a\},X\} \).

 Considera:

\(  f:[0,1]\times X\to X \)

\(  f(t,x)=\begin{cases} x & \text{si}& t< 1/2\\b & \text{si}& t\geq 1/2\end{cases} \)

Saludos.

21 Enero, 2019, 12:42 pm
Respuesta #2

Eparoh

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Vaya, fue mi primera idea, que el espacio era contractil, y de hecho comencé a desarrollarla, pero por una tontería no me di cuenta que la función que has dado es continua y pensé que no valía.
Muchas gracias como siempre  ;)
Un saludo