[malboro]

Hola Geòmetracat, estuve viendo esto que comentaste:

 Si existe un objeto universal \( (X,a) \) para \( F \), entonces \( F \)  es representable por \( X \). Es decir, \( F≅h_X \).

Dijiste para usar el lema de Yoneda.
Escribirè la prueba usando dicho lema.

Demostraciòn:

Por probar que existe una transformaciòn natural \( \tau:H_X\to  F \) tal que para cada \( U\in C \) se tiene que la flecha \( \tau_U:H_XU\to FU \) en SET es un isomorfismo.

Usando el lema de Yoneda tenemos que existe una aplicaciòn biyectiva \( T:FX\to Nat(H_X,F) \) tal que \( T(s)=\tau^s \), en particular tenemos que  \( T(a)=\tau^a \) pues \( a\in FX \) luego existe \( \tau^a:H_X\to F \).

Dado un \( U\in C \) existe una ùnica flecha \( f_U:X\to U \) tal que \( Ff_U(a)=b \)

 ,pues \( (X,a) \) es objeto universal y por otro lado tambièn tenemos que \( \tau^a_U:H_XU\to FU \) tal que \( \tau^a_U(g)=Fg(a) \).  Tengo que probar que la flecha  \( \tau^a_U:H_XU\to FU \) en Set tal que \( \tau^a_U(g)=Fg(a) \) es biyectiva.  Espero alguna sugerencia.


Muchas gracias

[geómetracat]

La biyectividad de \( \tau^a_U \) es, tal cual, la condición de que \( (X,a) \) es universal para \( F \),
Es decir, tienes que que dado \( b \in FU \) existe una única aplicación \( g:U \to X \) tal que \( b = Fg(a) \). Pero esto es exactamente lo que significa que la aplicación \( \tau^a_U:Hom(U,X) \to FU \) definida por \( \tau^a_U(g)=Fg(a) \) sea biyectiva.

[malboro]

Muchas gracias Geòmetracat.

Podriamos  decir que este resultado  es una aplicaciòn del Lema de Yoneda a la teorìa de  categorìas?

El recìproco tambièn cumple o sea si F es representable entonces tiene objeto universal.

Para este caso tambièn se usa el lema de Yoneda? 

Muchas gracias.

[geómetracat]

Puedes decir que es una aplicación del lema de Yoneda. Aunque estrictamente no es necesario usar el lema de Yoneda, sí que usa el mismo círculo de ideas.

Para el recíproco, la idea es que si tienes un isomorfismo natural \( \tau:h_X \to F \), entonces un objeto universal para \( F \) es \( (X,\tau_X(id_X)) \). Fíjate que \( \tau_X(id_X) \) es el elemento de \( FX \) que corresponde a la transformación natural \( \tau \) vía el lema de Yoneda.

En efecto, dado un objeto \( Y \) y un elemento \( b \in FY \), como \( \tau_Y:Hom(Y,X) \to FY \) es una biyección, existe un único morfismo \( g: Y \to X \) tal que \( \tau_Y(g)=b \). Pero usando la condición de transformación natural, puedes ver que \( \tau_Y(g)=Fg(\tau_X(id_X)) \) (esto es esencialmente la forma explícita de la biyección del lema de Yoneda). Esto acaba la prueba.