Autor Tema: n! puntos en \(\mathbb{R}^n\)

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07 Diciembre, 2018, 06:57 pm
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Zrig

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Espero que este sea el foro adecuado para plantear esta cuestión.
Supongamos que tenemos \( n!  \) puntos sobre una superficie cóncava en un espacio n-dimensional. ¿Existe alguna superficie cóncava "sencilla" que contenga a todos estos puntos?
Por ejemplo, si fueran n puntos, sabemos que un hiperplano los contiene a todos ellos. Al ser \( n! \), el hiperplano no nos vale, pero  ¿un hiperelipsoide o algo así podría servir? 

10 Diciembre, 2018, 10:20 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Espero que este sea el foro adecuado para plantear esta cuestión.
Supongamos que tenemos \( n!  \) puntos sobre una superficie cóncava en un espacio n-dimensional. ¿Existe alguna superficie cóncava "sencilla" que contenga a todos estos puntos?
Por ejemplo, si fueran n puntos, sabemos que un hiperplano los contiene a todos ellos. Al ser \( n! \), el hiperplano no nos vale, pero  ¿un hiperelipsoide o algo así podría servir? 

¿Cuál es el contexto exacto de la pregunta?. Por superficie, ¿te refieres a hipersuperficie, es decir, si estás en \( \mathbb{R}^n \) a una variedad de dimensión \( n-1 \)?. ¿Qué quieres decir exactamente con cóncava?.

A falta de aclarar todo esto una primera aproximación. Una hipersuperficie polinómica de grado \( g \) en \( \mathbb{R}^n \) viene determinada por \( \displaystyle\binom{n+g}{g} \) coeficientes. Dado que fijado \( n \), \( \displaystyle\lim_{g \to{+}\infty}{}\displaystyle\binom{n+g}{g}=+\infty \), siempre se puede tomar un grado \( g \) tal que \( \displaystyle\binom{n+g}{g}\geq n \)  y por tanto encontrar una hipersuperficie de grado \( g \) que interpole los \( n! \) puntos dados.

Saludos.

11 Diciembre, 2018, 07:52 pm
Respuesta #2

Zrig

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¿Cuál es el contexto exacto de la pregunta?. Por superficie, ¿te refieres a hipersuperficie, es decir, si estás en \( \mathbb{R}^n \) a una variedad de dimensión \( n-1 \)?. ¿Qué quieres decir exactamente con cóncava?.
Gracias por la respuesta Luis Fuentes. Quizá los nombres no sean los correctos :-[. Los defino con más precisión:
Por superficie me refiero a la imagen \( f(\mathbb{R}^{n-1}) \)  de una función \( f : \mathbb{R}^{n-1} \longrightarrow{} \mathbb{R}^{n} \) tal que divida \( \mathbb{R}^{n} \) en dos conjuntos.
Por cóncava me refiero a que cualquier segmento que una dos puntos de dicha superficie debe estar enteramente contenido en solo uno de dichos conjuntos.
Entiendo que la hipersuperficie polinómica que sugieres no sería cóncava. ¿Verdad?
Saludos

12 Diciembre, 2018, 10:36 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

¿Cuál es el contexto exacto de la pregunta?. Por superficie, ¿te refieres a hipersuperficie, es decir, si estás en \( \mathbb{R}^n \) a una variedad de dimensión \( n-1 \)?. ¿Qué quieres decir exactamente con cóncava?.
Gracias por la respuesta Luis Fuentes. Quizá los nombres no sean los correctos :-[. Los defino con más precisión:
Por superficie me refiero a la imagen \( f(\mathbb{R}^{n-1}) \)  de una función \( f : \mathbb{R}^{n-1} \longrightarrow{} \mathbb{R}^{n} \) tal que divida \( \mathbb{R}^{n} \) en dos conjuntos.
Por cóncava me refiero a que cualquier segmento que una dos puntos de dicha superficie debe estar enteramente contenido en solo uno de dichos conjuntos.

De acuerdo.

Citar
Entiendo que la hipersuperficie polinómica que sugieres no sería cóncava. ¿Verdad?

No, en principio no tendría porque serlo. Se podría intentar añadir condiciones para que lo sea. Pero antes, no me acaba de quedar claro que pretendes.

Leyendo de nuevo tu enunciado, tu ya partes de que los puntos están en una superficie cóncava, pero parece que quieres otra "más sencilla". Sería bueno saber exactamente para qué quieres tal cosa. Uno para precisar cuan sencilla quieres que sea tu superficie (ya que es un concepto abierto, subjetivo). También me gustaría saber si quieres poder construir explícitamente tal superficie o simplemente garantizar su existencia. En fin, cuanto más contextualices tu pregunta mejor.

Saludos.

12 Diciembre, 2018, 09:20 pm
Respuesta #4

Zrig

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Leyendo de nuevo tu enunciado, tu ya partes de que los puntos están en una superficie cóncava, pero parece que quieres otra "más sencilla". Sería bueno saber exactamente para qué quieres tal cosa. Uno para precisar cuan sencilla quieres que sea tu superficie (ya que es un concepto abierto, subjetivo). También me gustaría saber si quieres poder construir explícitamente tal superficie o simplemente garantizar su existencia. En fin, cuanto más contextualices tu pregunta mejor.

La quiero lo suficientemente sencilla como para poder despejar (con una fórmula directa) cualquier coordenada de uno de sus elementos a partir de las \( n-1 \) restantes. Supongo que con eso respondo a la segunda duda, ya que si puedo despejar una coordenada a partir de las demás es porque tengo una fórmula explícita.
Saludos y gracias.
 

13 Diciembre, 2018, 10:30 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

La quiero lo suficientemente sencilla como para poder despejar (con una fórmula directa) cualquier coordenada de uno de sus elementos a partir de las \( n-1 \) restantes.

Incluso sin tener en cuenta la concavidad, con el método que te propuse puede salir una superfice de grado alto con lo que no es esperable que puedas despejar explícitamente una coordenada en función de las demás (otra cosa es resolverla con métodos numéricos para valores concretos).

Estoy un poco pesado con lo de pedirte que contextualices más; se une el hecho de que un mayor contexto ayuda a contestarte con más precisión, con una gran curiosidad sobre para que necesitas exactamente la construcción que solicitas. ¿Podrías detallarlo?.

Saludos.

13 Diciembre, 2018, 11:37 pm
Respuesta #6

Zrig

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Estoy un poco pesado con lo de pedirte que contextualices más; se une el hecho de que un mayor contexto ayuda a contestarte con más precisión, con una gran curiosidad sobre para que necesitas exactamente la construcción que solicitas. ¿Podrías detallarlo?

Sin problema alguno: La superficie en cuestión es la frontera de un conjunto \( D \) cerrado, no vacío, convexo, acotado por arriba (\( D \cap \{x : x \geq a\} \) acotado para cualquier \( a \in \mathbb{R}^n \)), comprehensivo (\( x \in D, y \leq x \Rightarrow{ y \in D} \)) y que contiene en su interior al punto \( 0 = (0,...,0) \).

Los \( n! \) puntos los calculo de la forma siguiente a partir de un parámetro \( \rho \in (0,1) \):

Para \( n=2 \), dado un punto \( a \in \{x\in D : x\geq 0\} \), calculo \( \rho a \). Un punto \( a^{[12]} \) lo obtengo aumentando la primera coordenada de \( \rho a \) hasta alcanzar la superficie. El otro punto \( a^{[21]} \) lo obtengo aumentando la segunda coordenada.
La aplicación del teorema del punto fijo me asegura que puedo encontrar un \( a \) tal que \( a \) sea el punto medio de \( a^{[12]} \) y \( a^{[21]} \).
Si ahora tomo como superficie (en este caso, línea), la recta que une \( a^{[12]} \) y \( a^{[21]} \), el procedimiento anterior vuelve a darme los mismos puntos, pero ahora, al ser una superficie "sencilla" (una recta), puedo calcular cuánto valen exactamente estos puntos y comprobar, por ejemplo, que \( a \) es el punto medio del segmento que une las intersecciones de la recta con los ejes coordenados, o que es el punto de la recta que maximiza el producto de sus coordenadas. Al calcular el límite cuando \( \rho \) tiende a \( 1 \), encuentro que todos los puntos se aproximan a un mismo punto de la superficie tal que la recta tangente a la superficie en ese punto tiene esas mismas propiedades (es el punto medio que une las intersecciones de la recta con los ejes coordenados y además es un punto de la superficie que maximiza el producto de sus coordenadas).

Para \( n=3 \), ya no puedo hacer lo mismo. Dado un punto \( a \in \{x\in D : x\geq 0\} \), calculo \( \rho a \). Un punto \( a^{[3]} \) lo obtengo aumentando la tercera coordenada de \( \rho a \) hasta alcanzar la superficie. Luego considero el conjunto \( D^3 = \{(x_1,x_2) : (x_1,x_2,a^{[3]}_3) \in D\} \) y repito el mismo procedimiento que para \( n=2 \) para obtener los dos puntos \( a^{[312]} \) y \( a^{[312]} \) con tercera coordenada \( a^{[3]}_3 \). Análogamente, calculo \( a^{[2]} \), \( a^{[1]} \) y sus respectivos \( a^{[213]} \), \( a^{[231]} \), \( a^{[123]} \) y \( a^{[132]} \). De nuevo el teorema del punto fijo me permite saber que existe un \( a \) que es el promedio de los seis puntos. Lo que necesito ahora para repetir el proceso es buscar una superficie "sencilla" que contenga esos \( 3! \) puntos de forma que pueda hacer lo mismo que antes.

De hecho, te agradezco que me hayas hecho escribirlo porque me acabo de dar cuenta que no son \( 3! \) puntos, sino \( 3!+3 \), ya que los puntos \( a^{[ i ]} \) también deben pertenecer a la superficie.

En todo caso, espero haberme explicado y que se entienda lo que busco.

Saludos y gracias.