Autor Tema: Espacios topológicos, proyección

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22 Noviembre, 2018, 03:29 am
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Carlei

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
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Hola..necesito si alguien me puede ayudar con la siguiente demostracion.
Sean E, F espacios topológicos.
Demuestre que la proyeccion \( \pi_E \) : E × F que va a E transforma abiertos en abiertos (es decir, si O pertenece a \( \tau_{ExF} \) entonces \( \pi_E \) (O) pertenece a \( \tau_E \)..

22 Noviembre, 2018, 08:21 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola..necesito si alguien me puede ayudar con la siguiente demostracion.
Sean E, F espacios topológicos.
Demuestre que la proyeccion \( \pi_E \) : E × F que va a E transforma abiertos en abiertos (es decir, si O pertenece a \( \tau_{ExF} \) entonces \( \pi_E \) (O) pertenece a \( \tau_E \).

Utiliza que:

- Todo abierto se es unión de abiertos básicos.
- Los abiertos básicos de la topología producto son de la forma \( U\times V \) con \( U \) abierto en \( E \) y \( V \) abierto en \( F \).
- \( \pi_E(U\times V)=U \)
- La imagen de la unión es unión de las imágenes.
- La unión de abiertos es abierta.

Saludos.

22 Noviembre, 2018, 08:33 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Mmm..comprendo

Por lo que preguntas después no se yo si comprendes...  :-\

Citar
Seria de mucha molestia si podrias darme el comienzo de la demostracion y yo la termino.

Prácticamente ya te he indicado los pasos. El comienzo sería: Sea \( A \) abierto en \( E\times F \). Sabemos que \( A \) es unión de abiertos básicos, es decir,

\( A=\displaystyle\bigcup_{i\in I}U_i\times V_i \) con \( U_i \) abierto en \( E \) y \( V_i \) abierto en \( F \)

Entonces:

\( \pi_E(A)=\pi\left(\displaystyle\bigcup_{i\in I}U_i\times V_i\right)=\displaystyle\bigcup_{i\in I}\pi_E(U_i\times V_i)=\ldots \)

En fin, termina...

Saludos.