Autor Tema: Demostración del teorema de Schur

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19 Noviembre, 2018, 03:51 pm
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SeñoritaDeLosAnillos

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Hola,
quiero demostrar el teorema siguiente usando las sucesiones exactas de cinco términos.

El teorema dice que: Si \( G \) es un grupo y \( Z(G) \) su centro, entonces: \( G/Z(G)\; \textrm{finito} \Rightarrow G' \;\textrm{finito}  \). \( G' \) es el subgrupo conmutador.

Hay que demostrar que: \( H_2G \rightarrow H_2(G/Z(G)) \rightarrow Z(G) \rightarrow G_{ab} \rightarrow (G/Z(G))_{ab} \).
Aquí el enlace al paper: ftp://ftp.math.ethz.ch/EMIS/journals/IJMMS/Volume28_8/974595.pdf

La verdad es que no sé ni como empezar. No entiendo cómo funciona ésto de las sucesiones exactas.

Alguien tiene algúna idea? Gracias.
 

19 Noviembre, 2018, 06:36 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Puf, es complicado de explicar así en general (hablar de sucesiones espectrales con latex es un coñazo). El artículo que enlazas no sirve para nada de cara a responder a tu pregunta, sencillamente asume que sabes de qué está hablando.
De todas formas, lo que pides tiene dos ingredientes:
1. La sucesión exacta de 5 términos asociada a una sucesión espectral (aquí no interviene nada de grupos).
En general, si tienes una sucesión espectral concentrada en el primer cuadrante \( E^2_{p,q} \Rightarrow H_{p+q}(X) \), existe una sucesión exacta de la forma:
\( H_2(X) \rightarrow E^2_{2,0} \rightarrow E^2_{0,1} \rightarrow H_1(X) \rightarrow E^2_{1,0} \rightarrow 0. \)
Esto no utiliza nada más allá de la definición de sucesión espectral, y es un ejercicio sencillo pero interesante para ver si has entendido cómo funcionan las sucesiones espectrales.
2. La sucesión espectral de Hochschild-Serre asociada a una extensión de grupos. Esto lo puedes encontrar explicado en la sección VII.6 del libro de Brown "Cohomology of groups". Por cierto, en esa misma sección, corolario 6.4, tienes una demostración particularizada para este caso del punto 1.

Del corolario 6.4, se sigue directamente la sucesión exacta que te interesa tomando la extensión de grupos
\( 1 \rightarrow Z(G) \rightarrow G \rightarrow G/Z(G) \rightarrow 1 \),
como \( M = \mathbb{Z} \) con la acción trivial, y teniendo en cuenta que el primer grupo de homología es el abelianizado:
\( H_1(G;\mathbb{Z}) \simeq G_{ab} \)

Espero que estas indicaciones y referencias te sirvan de algo. Échale un vistazo al libro que te he dicho y si no entiendes cualquier cosa pregunta de nuevo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Noviembre, 2018, 09:59 pm
Respuesta #2

SeñoritaDeLosAnillos

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Muchas gracias por tu respuesta. Intentaré entender lo que has escrito y prestarme ese libro. Seguro que tendré más preguntas dentro de poco. :)