Autor Tema: Definición de recta.

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25 Julio, 2018, 01:42 pm
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Buscón

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No sé si es el foro adecuado. Se trata de discutir sobre los elementos básicos de la geometría. El punto, la recta y el plano.

La primer observación que se me ocurre es que tanto la recta como el plano son conjuntos de puntos. Sin embargo no he encontrado ninguna definición de recta y plano en función del punto. Simplemente se consideran primitivas.

Cita de: Carlor Ivorra Castillo. Geometría.
Hay dos conceptos más que se encuentran al mismo nivel elemental que el
concepto de punto. Se trata de los conceptos de recta y plano. De nuevo es
imposible definir la característica que diferencia a una línea recta de una líınea
curva o a una superficie plana de una superficie curva, pero intuitivamente todos
sabemos distinguir las rectas y los planos de las restantes curvas y superficies.

Propongo lo siguiente

Da una definición de línea utilizando para ello como elementos primitivos el punto y el espacio. Suponiendo el espacio    \( E \),    un conjunto infinito de puntos, continuo y el concepto intuitivo de punto.


Saludos y gracias. Espero se anime alguien.

25 Julio, 2018, 02:16 pm
Respuesta #1

Buscón

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Lo que se me ocurre.

Considerando unicidad del punto. La línea sería una sucesión infinita y no acotada de puntos distintos. Que quizás podría servir de base para definir la recta.

Saludos.

25 Julio, 2018, 03:13 pm
Respuesta #2

feriva

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Pes yo diría esto:

Punto: Un punto será considerado como un punto.

Linea: Sucesión de puntos colocados de cierta forma.

Creo que, además, para que todo sea más claro, se debe avisar previamente de en qué espacio; es decir, dejar sentado en cuántas dimensiones nos movemos (lo que es el espacio y las dimensiones, de momento, quede a la intuición)

Ya con definiciones previas, si nos situamos en \( \mathbb{R}^{3}
  \), por ejemplo, un tramo curvo particular “contiene” vectores en infinitas direcciones distintas (cuento de antemano con la definición de “dirección”, con la de “vector”... y otras definiciones usuales). Hablo de un tramo curvo, con puntos determinados en los extremos, porque así lo podemos colocar donde queramos en un espacio afín.

Los puntos que contiene un segmento o tramo recto concreto (ya tomemos dos o más puntos de dicho segmento) sólo definen dos direcciones una dirección en el espacio indicado (y dos sentidos); justamente una dirección, ni más ni menos.

Para mí ésta es la diferencia esencial entre lo que se entiende por línea curva y línea recta, pero necesitamos esas definiciones “modernas” (de Descartes en adelante); en plan Euclides es más intuitivo.

Saludos.

25 Julio, 2018, 04:04 pm
Respuesta #3

Buscón

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Creo que, además, para que todo sea más claro, se debe avisar previamente de en qué espacio; es decir, dejar sentado en cuántas dimensiones nos movemos (lo que es el espacio y las dimensiones, de momento, quede a la intuición)

Estoy de acuerdo, hay que especificar cual es el espacio. Yo limitaría de momento el espacio al espacio tridimensional del que todos tenemos el concepto intuitivo.

Faltan conceptos como "dirección" o "dimensión" para poder definir línea recta y línea curva. Quizás también con esos conceptos definir el espacio tridimensional a partir del punto. El dilema es que definir primero, "espacio" o "dimensión". No veo posible definir el uno sin el otro.

Saludos.

25 Julio, 2018, 05:20 pm
Respuesta #4

feriva

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Faltan conceptos como "dirección" o "dimensión" para poder definir línea recta y línea curva. Quizás también con esos conceptos definir el espacio tridimensional a partir del punto. El dilema es que definir primero, "espacio" o "dimensión". No veo posible definir el uno sin el otro.

Saludos.


Sí. Es que es difícil, es difícil. A mí se me ha ocurrido decir eso de que la línea es una sucesión de puntos “colocados de cierta manera” porque de otras “ciertas maneras” podrían formar el trozo de un plano o el trozo de cualquier espacio de más dimensiones. Y digo trozo porque el concepto de “subespacio” como subconjunto de un espacio ya está reservado para definir otra cosa diferente a lo que sería una sección de un espacio. Creo que no conviene decir mucho más al hablar de línea, si nos metemos a matizar podemos acabar teniendo que definir cosas mucho más recientes o avanzadas de las matemáticas, como los fractales.
Por otra parte el concepto de dimensión va muy unido al de base vectorial, lo cual a su vez también necesita su definición... No es fácil decir qué cosas van primero.

Saludos.