Autor Tema: ¿Qué determinan cuatro puntos coplanarios tres a tres?

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24 Julio, 2018, 10:46 pm
Respuesta #20

Buscón

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Hola


Aquí vienen cosas sobre eso; según el que escribe se distingue entre de semirrectas y rayos.

http://www.icarito.cl/2010/03/102-8675-9-2-espacio-punto-recta-y-plano.shtml/

Hay más páginas por ahí que también hablan de rayos.

Saludos.

Pues tras echarle un vistazo sigo pensando lo mismo. Por un sólo punto pasan infinitas rectas e infinitas semirrectas. Esto es, un sólo punto no determina una recta y por lo tanto tampoco una semirrecta o un rayo, se necesitan dos untos para que queden determinadas. Para el caso que ocupa se trata del número de semirrectas que se pueden formar tomando los cuatro puntos dos a dos. Insisto:

cada par de puntos dos semirrectas, por ejemplo    \( \overrightarrow{AB} \)    y    \( \overrightarrow{BA} \).
No , cada par de puntos define 4 semirectas como te he mostrados dos veces.

¿Que diferencia hay entonces entre la semirrecta 1 y la 4?

Además, resulta fácil nombrar la semirrecta 4, se trata de la semirrecta    \( \overrightarrow{BA} \).    ¿Como se nombra la semirrecta 1? ¿Por que puntos pasa? Ha de pasar al menos por dos ¿No?

Saludos.

25 Julio, 2018, 01:02 am
Respuesta #21

Buscón

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Una vuela más, de

Cita de: Carlos Ivorra Castillo. Geometría
Teorema 1.14 Si \( A \) es un punto en una recta \( r \), entonces la relación en \( r\backslash\{A\} \)
dada por


                      \( P\sim{_A}Q \)    si y sólo si    \( P=Q \) o \( A\not\in{\overline{PQ}} \)

es una relación de equivalencia que detetermina exactamente dos clases de equi-
valencia.

...

...
Definición 1.17 Dado un punto \( O \) en una recta \( r \), llamaremos semirrectas en \( r \)
con origen \( O \) a los dos conjuntos que resultan de añadir el punto \( O \) a cada una
de las dos clases de equivalencia dadas por el teorema 1.14

   Dados dos puntos distintos \( O \) y \( A \), llamaremos \( \overrightarrow{OA} \) a la semirrecta que el
punto \( O \) determina en la recta \( OA \) que contiene al punto \( A \). Toda semirrecta
puede expresarse de esta forma.

   Una semirrecta está contenida en una única recta, a la que llamaremos su
prolongación. Además, cada semirrecta \( s=\overrightarrow{OA} \) determina su origen, pues \( O \) es
el único punto de \( s \) que no está entre otros dos puntos de \( s \).

   En efecto, si \( P\in{s} \) es un punto distinto de su origen \( a \), entonces podemos
tomar un punto tal que \( A-P-Y \), de modo que \( P\sim{_A}Y \), luego \( Y\in{s} \), y así
tenemos dos puntos \( X,Y\in{s} \) (tomando X=A), de modo que \( X-P-Y \). En
cambio, esto no sucede si \( P=A \), pues de \( X,Y\in{s} \) se sigue que \( X\sim{_A}Y \), y
esto contradice a \( X-P-Y \).

   Dada una semirrecta \( s \) de origen \( O \) y prolongación \( r \), la otra semirrecta \( s' \) que
\( O \) determina en \( r \) se llama semirrecta complementaria de \( s \). Es claro entonces
que \( s\cap{s'}=\{O\} \) y que \( s\cup{s'}=r \).
...

se deduce que para que una semirrecta exista:

   i)   Debe existir una recta    \( r \).

   ii)  Se debe conocer el origen    \( O\in{r} \)    de la semirrecta.

   iii) Se debe conocer otro punto     \( A\in{r} \).

Aplicado al ejercicio, teniendo en cuenta que una recta viene determinada por dos puntos, hay un total de    \( \displaystyle\binom{4}{2}=6 \)    rectas y que de cada recta se conocen dos puntos, para cada par de puntos    \( X,Y\in{r} \)    sólo podemos tomar como orígenes    \( X \)    o     \( Y \),    siendo el otro punto el que determina una de las dos clases de equivalencia.

Esto es, para cada par de puntos    \( X,Y\in{r} \)    quedarán determinadas cuatro semirrectas, estas son    \( s=\overrightarrow{OX} \),    \( l=\overrightarrow{OY} \)    y sus respectivas complementarias    \( s' \)    y    \( l' \).

En total 24 semirrectas.

Saludos.
 

   


25 Julio, 2018, 08:16 am
Respuesta #22

robinlambada

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Hola


Aquí vienen cosas sobre eso; según el que escribe se distingue entre de semirrectas y rayos.

http://www.icarito.cl/2010/03/102-8675-9-2-espacio-punto-recta-y-plano.shtml/

Hay más páginas por ahí que también hablan de rayos.

Saludos.

Pues tras echarle un vistazo sigo pensando lo mismo. Por un sólo punto pasan infinitas rectas e infinitas semirrectas. Esto es, un sólo punto no determina una recta y por lo tanto tampoco una semirrecta o un rayo, se necesitan dos untos para que queden determinadas. Para el caso que ocupa se trata del número de semirrectas que se pueden formar tomando los cuatro puntos dos a dos. Insisto:

cada par de puntos dos semirrectas, por ejemplo    \( \overrightarrow{AB} \)    y    \( \overrightarrow{BA} \).
No , cada par de puntos define 4 semirectas como te he mostrados dos veces.

¿Que diferencia hay entonces entre la semirrecta 1 y la 4?
El origen, la 1 tiene origen en A y la 4 origen en B.
Citar
Además, resulta fácil nombrar la semirrecta 4, se trata de la semirrecta    \( \overrightarrow{BA} \).    ¿Como se nombra la semirrecta 1? ¿Por que puntos pasa? Ha de pasar al menos por dos ¿No?
Saludos.
Te defino anallíticamente la recta 1.

\( r_1:\, X=A +\lambda \overrightarrow{BA}
 \) , con: \( X \) los puntos de la semirecta, \( \lambda\geq{}0 \) si \( A\in{r} \) y  \( \lambda>0 \) si \( A\not\in{r} \) y \( \overrightarrow{BA} \) , el vector que va del punto B al A.

Sólo tienes que dar valores positivos al parámetro  \( \lambda \) para hallar cualquier punto de la semirecta 1.

Respecto al enlace que pones de Carlos Ivorra, aun no conociendo la notación utilizada para la relación de equivalencia (teorema 1.4) y por tanto tampoco del todo dicha relación, pienso que me da la razón, incluso tu mismo me la das advirtiendo que un punto en una recta define dos clases de equivalencia y por tanto 2 semirectas y 2 puntos 4 semirectas.

.........

Aplicado al ejercicio, teniendo en cuenta que una recta viene determinada por dos puntos, hay un total de    \( \displaystyle\binom{4}{2}=6 \)    rectas y que de cada recta se conocen dos puntos, para cada par de puntos    \( X,Y\in{r} \)    sólo podemos tomar como orígenes    \( X \)    o     \( Y \),    siendo el otro punto el que determina una de las dos clases de equivalencia.

Esto es, para cada par de puntos    \( X,Y\in{r} \)    quedarán determinadas cuatro semirrectas, estas son    \( s=\overrightarrow{OX} \),    \( l=\overrightarrow{OY} \)    y sus respectivas complementarias    \( s' \)    y    \( l' \).

En total 24 semirrectas.

Saludos.


Saludos.

P.D.1: Te recuerdo que también se determina completamente una recta con un punto y un vector director.

P.D.2: No entiendo por que le has dado tantas vueltas, si en todas las definiciones que has puesto se deduce que 2 puntos determinan 4 semirectas y creo que lo mostré muy claro, aunque no tan formal.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

25 Julio, 2018, 11:15 am
Respuesta #23

Buscón

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Respecto al enlace que pones de Carlos Ivorra, aun no conociendo la notación utilizada para la relación de equivalencia (teorema 1.4) y por tanto tampoco del todo dicha relación, pienso que me da la razón, incluso tu mismo me la das advirtiendo que un punto en una recta define dos clases de equivalencia y por tanto 2 semirectas y 2 puntos 4 semirectas.

Es la primera vez que la veo, la intuyo. Agradezco enormemente me corrijan si me equivoco.

El conjunto sobre el que se define la relación de equivalencia    \( \sim{_r} \)    es el conjunto de los puntos     \( X\in{r} \)    con la excepción de un punto    \( A\in{r} \).    Dos puntos cualesquiera    \( P,Q\in{r\backslash}A \)    pertenecen a la relación de equivalencia
\( \sim{_r} \)    si y sólo si    \( P=Q \)    o    \( A\not\in{\overline{PQ}} \).    Dicho de otro modo, el punto     \( A \)    divide a la recta en dos conjuntos, uno formado por los puntos a "su derecha" y otro formado por los puntos a "su izquierda" que son las dos clases de equivalencia que menciona el Teorema 1.14.          

P.D.1: Te recuerdo que también se determina completamente una recta con un punto y un vector director.

P.D.2: No entiendo por que le has dado tantas vueltas, si en todas las definiciones que has puesto se deduce que 2 puntos determinan 4 semirectas y creo que lo mostré muy claro, aunque no tan formal.

Pues estoy empezando con la geometría, vector director no aparece por ningún lado como primitiva. Las primitivas son el punto, la recta y el plano. No aspiro a ser tan formal como Carlos Ivorra Castillo pero si no pongo un mínimo de rigor al comienzo a saber donde acabaré.

Al final has conseguido convencerme, son 24 las semirrectas.

Saludos, gracias y disculpa el mareo.