Autor Tema: Relación entre dos cuadrados.

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08 Junio, 2018, 09:33 pm
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moliere

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El área de un cuadrado dos de cuyos vértices están en la circunferencia y los otros dos en el diámetro de un círculo es  \( \displaystyle\frac{2}{5} \)del área del cuadrado inscrito.

09 Junio, 2018, 05:06 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

Suponiendo que el círculo tenga radio r. El cuadrado inscrito es una reunión de cuatro cuerdas iguales de lado L, los ángulos centrales correspondientes a cada lado, son rectos, esto implica que el triángulo formado por los radios correspondientes a un lado y el lado es un triángulo rectángulo, aplicando Pitágoras se tiene : \( r^2+r^2=L^2\Rightarrow{L^2=2r^2} \)

El área será :\( A=2r^2 \)

El  otro cuadrado, tiene dos vértices A,B en un diámetro FH y sus otros vértices C,D están en la circunferencia. Por ser la circunferencia simétrica respecto a la recta S (perpendicular al diámetro por O) y el cuadrado simétrico respecto al eje que biseca sus lados \( AB, \ CD \), este eje necesariamente coincide con la recta S y el cuadrado adopta la forma que se muestra en la figura :



Si el lado del  cuadrado es k,  se tendrá que \( BC=k, \ OB=\displaystyle\frac{k}{2} \), el triángulo rectángulo OBC cumple Pitágoras, esto implica : \( k^2+(\displaystyle\frac{k}{2})^2=r^2\Rightarrow{k^2=\displaystyle\frac{4r^2}{5}} \)

El área de este cuadrado es :  \( a=\displaystyle\frac{4r^2}{5} \)

Al hacer el cociente se tiene : \( \displaystyle\frac{a}{A}=\displaystyle\frac{2}{5} \)

Saludos

09 Junio, 2018, 07:05 pm
Respuesta #2

moliere

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Muchas gracias, delmar.