Autor Tema: Lugar geométrico a dos paralelas.

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23 Mayo, 2018, 05:44 am
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moliere

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Hallar el lugar geométrico de todos los puntos cuyas distancias a dos paralelas dadas estén en una relación dada m/n.

10 Noviembre, 2020, 12:17 am
Respuesta #1

ancape

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Debe haber algo mal redactado en el enunciado o que no entiendo bien, pues el lugar pedido es claramente una recta paralela a ambas a distancia
\( (m/n)*distancia(r_1,r_2)/(1+(m/n)) \)

¡¡Demasiado fácil!!

10 Noviembre, 2020, 10:16 am
Respuesta #2

robinlambada

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Debe haber algo mal redactado en el enunciado o que no entiendo bien, pues el lugar pedido es claramente una recta paralela a ambas a distancia
\( (m/n)*distancia(r_1,r_2)/(1+(m/n)) \)

¡¡Demasiado fácil!!
La verdad que hay 2 soluciones de este tipo, con recta como solución. tu solución es solo una de ellas, suponiendo que la recta pedida está entre ambas rectas, es decir has supuesto \( distancia(r_1,r_2)=m+n \), pero pueden otro caso más , que la recta pedida esté fuera

Por ejemplo, que  \( d=distancia(r_1,r_2)=m-n>0 \), (*)

Solo basta imponer estas dos condiciones ( p y d son datos conocidos):

\( d=m-n \)   
\( p=\displaystyle\frac{m}{n} \)


Y despejaríamos \( m \) y \( n \) que son las distancias de la recta pedida a las rectas dadas.

O también si la recta está entre las 2 primeras:

\( d=(m+n) \)
\( p=\displaystyle\frac{m}{n} \)

Saludos.

P.D.: podríamos pensar en una solución más general con
 \( d=k(m-n)>0 \) ,   ó  \( d=k(m+n) \) con \( k\in{\mathbb{N}} \)

Pero a bote pronto pienso que conducen a las mismas dos rectas que el caso k=1
(*) En todo caso he supuesto m>0 y n>0 , por la interpretación geométrica de que hacen referencia a distancias.


Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

10 Noviembre, 2020, 11:12 am
Respuesta #3

robinlambada

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Spoiler
Debe haber algo mal redactado en el enunciado o que no entiendo bien, pues el lugar pedido es claramente una recta paralela a ambas a distancia
\( (m/n)*distancia(r_1,r_2)/(1+(m/n)) \)

¡¡Demasiado fácil!!
La verdad que hay 2 soluciones de este tipo, con recta como solución. tu solución es solo una de ellas, suponiendo que la recta pedida está entre ambas rectas, es decir has supuesto \( distancia(r_1,r_2)=m+n \), pero pueden otro caso más , que la recta pedida esté fuera

Por ejemplo, que  \( d=distancia(r_1,r_2)=m-n>0 \), (*)

Solo basta imponer estas dos condiciones ( p y d son datos conocidos):

\( d=m-n \)   
\( p=\displaystyle\frac{m}{n} \)


Y despejaríamos \( m \) y \( n \) que son las distancias de la recta pedida a las rectas dadas.

O también si la recta está entre las 2 primeras:

\( d=(m+n) \)
\( p=\displaystyle\frac{m}{n} \)

Saludos.

P.D.: podríamos pensar en una solución más general con
 \( d=k(m-n)>0 \) ,   ó  \( d=k(m+n) \) con \( k\in{\mathbb{N}} \)

Pero a bote pronto pienso que conducen a las mismas dos rectas que el caso k=1
(*) En todo caso he supuesto m>0 y n>0 , por la interpretación geométrica de que hacen referencia a distancias.

[cerrar]

Realmente la solución de ancape.
Debe haber algo mal redactado en el enunciado o que no entiendo bien, pues el lugar pedido es claramente una recta paralela a ambas a distancia
\( (m/n)*distancia(r_1,r_2)/(1+(m/n)) \)

¡¡Demasiado fácil!!

Si se especifica que \( n \) puede ser negativa tal que \[ m-|n|>0 \], pero en todo caso es necesario especificar que hay 2 soluciones posibles y no una sola como ha indicado.

Ya que si \[ n<0 \] , tenemos: \( m=\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{m}{|n|}d}{-\displaystyle\frac{m}{|n|}+1}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{m}{|n|}d}{\displaystyle\frac{m}{|n|}-1} \)

Que es el mismo resultado que se llegaría si suponemos \(  m>n>0 \) y \( d=m-n \)

Saludos.

P.D.: Aunque intuitivamente creo que es más natural suponer m y n positivos pues como indica el enunciado son razones de distancias, y distinguir geométricamente 2 casos, recta entre las 2 dadas y recta exterior a las dadas.

También aunque quizás demasiado puntilloso, decir  que realmente hay dos soluciónes simétricas a la obtenida fuera de las paralelas, que la recta este en un semiplano  exteriór a las 2 rectas o que este en el otro semiplano exterior.

Entonces entiendo que tenemos \( d=n-m>0 \) y habría tres posibles soluciones. , ha este caso se llega de igual modo en la fórmula de ancape con m<0 y n>0.

Saludos.
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10 Noviembre, 2020, 12:43 pm
Respuesta #4

ancape

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Efectivamente, no había considerado el caso en que el punto del lugar no esté entre las rectas. Aún así sigue siendo trivial por lo que sigo pensando que el enunciado esconde algo.

He considerado que tal vez se hable de rectas NO paralelas pero aunque los cálculos se complican un poco, siguen siendo triviales. En este caso, podemos suponer que las rectas dadas pasan por el origen y una de ellas es el eje x.
En tal caso, si a es el ángulo que forman las rectas dadas, el lugar es la recta que pasa por el origen y tiene pendiente (n/m+Cos(a))/Sin(a). [attachment id=0]

10 Noviembre, 2020, 04:03 pm
Respuesta #5

robinlambada

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Hola.

Por el teorema de Tales sale muy sencillo, comentar que en este caso también aparecen rectas como solución que están "fuera" de las rectas que se cortan, una en cada semiplano exterior al ángulo que describen ambas rectas y dos rectas interiores si intercambiamos las rectas.

Además hay que excluir del lugar geométrico el punto de corte de las rectas , ya que en este la distancia del punto que pertenece a una recta y la propia recta es cero y el cociente \( \displaystyle\frac{0}{0} \) no está definido en los reales.

Por un lado, por semejanza
\( \displaystyle\frac{OP_1}{OP_2}=\displaystyle\frac{m_1}{m_2} \)

Y por otro lado:
\( \displaystyle\frac{OP_1}{OP_2}=\displaystyle\frac{n_1}{n_2} \)

de ambas: \( \displaystyle\frac{m_1}{m_2}=\displaystyle\frac{n_1}{n_2}\Leftrightarrow{}\displaystyle\frac{m_1}{n_1}=\displaystyle\frac{m_2}{n_2}=cte \)

Saludos.

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